Question

【題目】在中，，點為內一點.

（1）如圖1，連接，將沿射線方向平移，得到，點的對應點分別為點，連接.如果，，則 ．

（2）如圖2，連接，當時，求的最小值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）2+2

【解析】

（1）連接CD，構造矩形ACBD和Rt△CDE，根據矩形的對角線相等以及勾股定理進行計算，即可求得CE的長；
（2）以點A為旋轉中心，將△ABP順時針旋轉60°得到△AMN，連接BN．根據△PAM、△ABN都是等邊三角形，可得PA+PB+PC=CP+PM+MN，最后根據當C、P、M、N四點共線時，由CA=CB，NA=NB可得CN垂直平分AB，進而求得PA+PB+PC的最小值．

如圖，連接CD

∵△BCP沿射線CA方向平移，得到△DAE，
∴BC∥AD且BC=AD，
∵∠ACB=90°，
∴四邊形BCAD是矩形，
∴CD=AB=6，
∵BP=3，
∴DE=BP=3，
∵BP⊥CE，BP∥DE，
∴DE⊥CE，
∴在Rt△DCE中，CE=
（2）如圖所示，以點A為旋轉中心，將△ABP順時針旋轉60°得到△AMN，連接BN．那么就將PA+PB+PC的值轉化為CP+PM+MN的值，連接CN，當點P落在CN上時，PA+PB+PC的值最小．

由旋轉可得，△AMN≌△ABP，
∴MN=BP，PA=AM，∠PAM=60°=∠BAN，AB=AN，
∴△PAM、△ABN都是等邊三角形，
∴PA=PM，
∴PA+PB+PC=CP+PM+MN，
當AC=BC=4時，AB=4，
當C、P、M、N四點共線時，由CA=CB，NA=NB可得CN垂直平分AB，
∴AQ=AB=2=CQ，NQ=AQ=2，
∴此時CN=CP+PM+MN=PA+PB+PC=2+2．