Question

如圖，AB是⊙O的直徑，AC是弦．
（1）請你按下面步驟畫圖（畫圖或作輔助線時先使用鉛筆畫出，確定后必須使用黑色字跡的簽字筆描黑）；
第一步，過點A作∠BAC的角平分線，交⊙O于點D；
第二步，過點D作AC的垂線，交AC的延長線于點E．
第三步，連接BD．

（2）求證：AD²=AE•AB；
（3）連接EO，交AD于點F，若5AC=3AB，求的值．

Answer 1

（1）解：如圖；

（2）證明：∵AB是⊙O的直徑，
∴∠ADB=90°，
而DE⊥AC，
∴∠AED=90°，
∵AD平分∠CAB，
∴∠CAD=∠DAB，
∴Rt△ADE∽Rt△ABD，
∴AD：AB=AE：AD，
∴AD²=AE•AB；
（3）解：連OD、BC，它們交于點G，如圖，

∵5AC=3AB，即AC：AB=3：5，
∴不妨設AC=3x，AB=5x，
∵AB是⊙O的直徑，
∴∠ACB=90°，
又∵∠CAD=∠DAB，
∴，
∴OD垂直平分BC，
∴OD∥AE，OG="1" 2 AC="3" 2 x，
∴四邊形ECGD為矩形，
∴CE=DG=OD-OG=x-x =x，
∴AE=AC+CE=3x+x=4x，
∵AE∥OD，
∴△AEF∽△DOF，
∴AE：OD=EF：OF，
∴EF：OF=4x：x=8：5，
∴ ．

解析