Question

【題目】綜合題

如圖1，為直線上一點，過點作射線，，將一直角三角板（）的直角頂點放在點處，一邊在射線上，另一邊與都在直線的上方．

（1）將圖1中的三角板繞點以每秒的速度沿順時針方向旋轉一周，如圖2，經過秒后，恰好平分．

①此時的值為______；（直接填空）

②此時是否平分？請說明理由．

（2）在（1）問的基礎上，若三角板在轉動的同時，射線也繞點以每秒的速度沿順時針方向旋轉一周，如圖3，那么經過多長時間平分？請說明理由；

（3）在（2）問的基礎上，經過多長時間平分？

Answer 1

【答案】（1）①3；②是，理由見解析；（2）經過5秒或69秒時，平分；（3）經過秒時，平分．

【解析】

（1）①先求出時的的度數，再求出當恰好平分時，最后根據旋轉的角度等于前后兩次所求度數的差列出方程即得．

②在①中求出的的條件下，求出此時的的度數即可．

（2）先根據平分可將旋轉度數與三角板旋轉度數之差分為、和三種情況， 然后以平分為等量關系列出方程即得．

（3）先根據旋轉速度與三角板旋轉速度判斷平分應該在兩者旋轉過之后，然后用分別表示出與的度數，最后依據平分為等量關系列出方程即可．

（1）①當時

∵，

∴

當直角三角板繞點旋轉秒后

∴

∵，

∴

∵恰好平分

∴

∴

∴．

②是，理由如下：

∵轉動3秒，∴，

∴，

∴，即平分．

（2）直角三角板繞點旋轉一周所需的時間為（秒），射線繞點旋轉一周所需的時間為

（秒），

設經過秒時，平分，

由題意：①，

解得：，

②，

解得：，不合題意，

③∵射線繞點旋轉一周所需的時間為（秒），45秒后停止運動，

∴旋轉時，平分，

∴（秒），

綜上所述，秒或69秒時，平分．

（3）由題意可知，旋轉到與重合時，需要（秒），

旋轉到與重合時，需要（秒），

所以比早與重合，

設經過秒時，平分．

由題意：，

解得：，

所以經過秒時，平分．