Question

【題目】如圖，AB是⊙O的直徑，∠B=∠CAD．
（1）求證：AC是⊙O的切線；
（2）若點E是 的中點，連接AE交BC于點F，當BD=5，CD=4時，求AF的值．

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵AB是⊙O的直徑，

∴∠ADB=∠ADC=90°，

∵∠B=∠CAD，∠C=∠C，

∴△ADC∽△BAC，

∴∠BAC=∠ADC=90°，

∴BA⊥AC，

∴AC是⊙O的切線

（2）解：∵BD=5，CD=4，

∴BC=9，

∵△ADC∽△BAC（已證），

∴ = ，即AC2=BC×CD=36，

解得：AC=6，

在Rt△ACD中，AD= =2 ，

∵∠CAF=∠CAD+∠DAE=∠ABF+∠BAE=∠AFD，

∴CA=CF=6，

∴DF=CA﹣CD=2，

在Rt△AFD中，AF= =2

【解析】（1）證明△ADC∽△BAC，可得∠BAC=∠ADC=90°，繼而可判斷AC是⊙O的切線．（2）根據（1）所得△ADC∽△BAC，可得出CA的長度，繼而判斷∠CFA=∠CAF，利用等腰三角形的性質得出AF的長度，繼而得出DF的長，在Rt△AFD中利用勾股定理可得出AF的長．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解切線的判定定理的相關知識，掌握切線的判定方法：經過半徑外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線，以及對相似三角形的判定與性質的理解，了解相似三角形的一切對應線段(對應高、對應中線、對應角平分線、外接圓半徑、內切圓半徑等）的比等于相似比；相似三角形周長的比等于相似比；相似三角形面積的比等于相似比的平方．