Question

數學課堂上，徐老師出示了一道試題：如圖所示，在正三角形ABC中M是BC邊（不含端點B，C）上任意一點.P是BC延長線上一點，N是∠ACP的平分線上一點，若∠AMN=60°，求證：AM=MN。
（1）經過思考，小明展示了一種正確的證明過程，請你將證明過程補充完整。證明：在AB上截取EA=MC，連接EM，得△AEM
∵∠1=180°-∠AMB-∠AMN，∠2=180°-∠AMB-∠B，∠AMN=∠B=60°，
∴∠1=∠2
又∵CN平分∠ACP，
∴∠4=∠ACP=60°
∴∠MCN=∠3+∠4=120° ①
又∵BA=BC，EA=MC，
∴BA-EA=BC-MC
即：BE=BM
∴△BEM為等邊三角形
∴∠6=60°
∴∠5=180°-6=120°。②
由①②得∠MCN=∠5
在△AEM和△MCN中
∴（         ），（           ），（         ），
∴△AEM≌△MCN（ASA）
∴AM=MN。
（2）若將試題中的“正三角形ABC”改為“正方形A₁B₁C₁D₁”（如圖），N₁是∠D₁C₁P₁的平分線上一點，則當∠A₁M₁N₁=90°時，結論A₁M₁=M₁N₁是否還成立？
（3）若將題中的“正三角形ABC”改為“正多邊形A_nB_nC_nD_n…X_n”，請你猜想：當∠A_nM_nN_n=（     ）時，結論A_nM_n=M_nN_n仍然成立？（直接寫出答案，不需要證明）

Answer 1

解：（1）∠5=∠MCN，AE=MC，∠2=∠1；
（2）結論成立；
（3） 。