Question

如圖所示，將矩形OABC沿AE折疊，使點O恰好落在BC上F處，以CF為邊作正方形CFGH，延長BC至M，使CM=｜CF-EO｜，再以CM、CO為邊作矩形CMNO。
（1）試比較EO、EC的大小，并說明理由；
（2）令，請問m是否為定值？若是，請求出m的值；若不是，請說明理由；
（3）在（2）的條件下，若CO=1，CE=，Q為AE上一點且QF=，拋物線y=mx²+bx+c經過C、Q兩點，請求出此拋物線的解析式；
（4）在（3）的條件下，若拋物線y=mx²+bx+c與線段AB交于點P，試問在直線BC上是否存在點K，使得以P、B、K為頂點的三角形與△AEF相似？若存在，請求直線KP與y軸的交點T的坐標？若不存在，請說明理由。

Answer 1

解：（1）EO＞EC， 理由如下：由折疊知，EO=EF， 在Rt△EFC中，EF為斜邊， ∴EF＞EC， 故EO＞EC； （2）m為定值， ∵S四邊形CFGH=CF2=EF2-EC2=EO2-EC2=（EO+EC）（EO―EC）=CO·（EO-EC） S四邊形CMNO=CM·CO=|CE-EO|·CO=（EO-EC）·CO ∴； （3）∵CO=1， ∴EF=EO= ∴cos∠FEC= ∴∠FEC=60°， ∴ ∴△EFQ為等邊三角形， 作QI⊥EO于I，EI=，IQ= ∴IO= ∴Q點坐標為  ∵拋物線y=mx2+bx+c過點C（0，1），Q，m=1 ∴可求得，c=1 ∴拋物線解析式為； （4）由（3）， 當時，＜AB ∴P點坐標為， ∴BP=AO 若△PBK與△AEF相似，而△AEF≌△AEO，則分情況如下： ①時， ∴K點坐標為或 ②時， ∴K點坐標為或 故直線KP與y軸交點T的坐標為。