Question

【題目】如圖，拋物線y=（其中m＞1）與其對稱軸l相交于點(diǎn)P，與y軸相交于點(diǎn)A（0，m）．點(diǎn)A關(guān)于直線l的對稱點(diǎn)為B，作BC⊥x軸于點(diǎn)C，連接PC、PB，與拋物線、x軸分別相交于點(diǎn)D、E，連接DE．將△PBC沿直線PB翻折，得到△PBC′．

（1）該拋物線的解析式為 ； （用含m的式子表示）；

（2）探究線段DE、BC的關(guān)系，并證明你的結(jié)論；

（3）直接寫出C′點(diǎn)的坐標(biāo)（用含m的式子表示）．

Answer 1

【答案】(1)y=；(2)DE=BC，理由詳見解析；(3)（，）．

【解析】

試題分析：（1）將點(diǎn)A的坐標(biāo)代入拋物線解析式，即可求出a的值；

（2）根據(jù)拋物線的解析式，求出頂點(diǎn)P的坐標(biāo)，根據(jù)對稱軸，求出點(diǎn)B，C的坐標(biāo)，根據(jù)待定系數(shù)法求出直線BP、CP的解析式，求出點(diǎn)D、E的坐標(biāo)，進(jìn)而求出DE，BC的長度，即可解得；

（3）連接CC′交直線BP于點(diǎn)F，則CC′⊥BP，且CF=C′F，求出CC′的解析式，進(jìn)而求得點(diǎn)F的坐標(biāo)，根據(jù)CF=C′F，即可解答．

試題解析：（1）把點(diǎn)A（0，m）代入y=，

得：﹣m=m，

am﹣1=0，

∵am＞1，

∴a=，

∴y=，

故答案為：y=；

（2）DE=BC．

理由：又拋物線y=，可得拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)P（，﹣m），

由l：x=，可得：點(diǎn)B（，m），

∴點(diǎn)C（，0）．

設(shè)直線BP的解析式為y=kx+b，點(diǎn)P（，﹣m）和點(diǎn)B（，m）在這條直線上，

得：，解得：，

∴直線BP的解析式為：y=﹣3m，

令y=0，﹣3m=0，解得：x=，

∴點(diǎn)D（，0）；

設(shè)直線CP的解析式為y=x+，點(diǎn)P（，﹣m）和點(diǎn)C（，0）在這條直線上，

得：，解得：，

∴直線CP的解析式為：y=﹣2m；

拋物線與直線CP相交于點(diǎn)E，可得：，解得：，（舍去），

∴點(diǎn)E（，）；

∵，

∴DE⊥x軸，

∴DE==，BC==m=2DE，

即DE=BC；

（3）C′（，）．

連接CC′，交直線BP于點(diǎn)F，

∵BC′=BC，∠C′BF=∠CBF，

∴CC′⊥BP，CF=C′F，

設(shè)直線BP的解析式為y=kx+b，點(diǎn)B（，m），P（，﹣m）在直線上，

∴，解得：，

∴直線BP的解析式為：y=﹣3m，

∵CC′⊥BP，

∴設(shè)直線CC′的解析式為：y=，

∴，解得：=2m，

聯(lián)立①②，得：，解得：，

∴點(diǎn)F（，），

∴CF==，

設(shè)點(diǎn)C′的坐標(biāo)為（a，），

∴C′F==，解得：a=，

∴=，

∴C′（，）．