Question

【題目】綜合題
（1）如圖（1），正方形AEGH的頂點E、H在正方形ABCD的邊上，直接寫出HD：GC：EB的結果（不必寫計算過程）；

（2）將圖（1）中的正方形AEGH繞點A旋轉一定角度，如圖（2），求HD：GC：EB；

（3）把圖（2）中的正方形都換成矩形，如圖（3），且已知DA：AB=HA：AE=m：n，此時HD：GC：EB的值與（2）小題的結果相比有變化嗎？如果有變化，直接寫出變化后的結果（不必寫計算過程）．

Answer 1

【答案】
（1）解：連接AG，

∵正方形AEGH的頂點E、H在正方形ABCD的邊上，

∴∠GAE=∠CAB=45°，AE=AH，AB=AD，

∴A，G，C共線，AB﹣AE=AD﹣AH，

∴HD=BE，

∵AG= = AE，AC= = AB，

∴GC=AC﹣AG= AB﹣ AE= （AB﹣AE）= BE，

∴HD：GC：EB=1： ：1；

（2）解：連接AG、AC，

∵△ADC和△AHG都是等腰直角三角形，

∴AD：AC=AH：AG=1： ，∠DAC=∠HAG=45°，

∴∠DAH=∠CAG，

∴△DAH∽△CAG，

∴HD：GC=AD：AC=1： ，

∵∠DAB=∠HAE=90°，

∴∠DAH=∠BAE，

在△DAH和△BAE中，

，

∴△DAH≌△BAE（SAS），

∴HD=EB，

∴HD：GC：EB=1： ：1；

（3）解：有變化，

連接AG、AC，

DA：AB=HA：AE=m：n，

∵∠ADC=∠AHG=90°，

∴△ADC∽△AHG，

∴AD：AC=AH：AG=m： ，∠DAC=∠HAG，

∴∠DAH=∠CAG，

∴△DAH∽△CAG，

∴HD：GC=AD：AC=m： ，

∵∠DAB=∠HAE=90°，

∴∠DAH=∠BAE，

∵DA：AB=HA：AE=m：n，

∴△ADH∽△ABE，

∴DH：BE=AD：AB=m：n，

∴HD：GC：EB=m： ：n．

【解析】（1）首先連接AG，由正方形AEGH的頂點E、H在正方形ABCD的邊上，易證得∠GAE=∠CAB=45°，AE=AH，AB=AD，即A，G，C共線，繼而可得HD=BE，GC=BE，即可求得HD：GC：EB的值；
（2）連接AG、AC，由△ADC和△AHG都是等腰直角三角形，易證得△DAH∽△CAG與△DAH≌△BAE，利用相似三角形的對應邊成比例與全等三角形的性質，即可求得HD：GC：EB的值；
（3）連接AG、AC， 由DA：AB=HA：AE=m：n，易證得△ADC∽△AHG，△DAH∽△CAG，△ADH∽△ABE，利用相似三角形的對應邊成比例與勾股定理即可求得HD：GC：EB的值

【考點精析】關于本題考查的等腰直角三角形和勾股定理的概念，需要了解等腰直角三角形是兩條直角邊相等的直角三角形；等腰直角三角形的兩個底角相等且等于45°；直角三角形兩直角邊a、b的平方和等于斜邊c的平方,即;a2+b2=c2才能得出正確答案．