Question

【題目】類比等腰三角形的定義，我們定義：有三條邊相等的凸四邊形叫做“準等邊四邊形”．

（1）已知：如圖1，在“準等邊四邊形”ABCD中，BC≠AB，BD⊥CD，AB=3，BD=4，求BC的長；

（2）在探究性質時，小明發現一個結論：對角線互相垂直的“準等邊四邊形”是菱形．請你判斷此結論是否正確，若正確，請說明理由；若不正確，請舉出反例；

（3）如圖2，在△ABC中，AB=AC=，∠BAC=90°．在AB的垂直平分線上是否存在點P，使得以A，B，C，P為頂點的四邊形為“準等邊四邊形”． 若存在，請求出該“準等邊四邊形”的面積；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）5；（2）正確，證明詳見解析；（3）存在，有四種情況，面積分別是：，，，

【解析】

（1）根據勾股定理計算BC的長度,

（2）根據對角線互相垂直平分的四邊形是菱形判斷,

（3）有四種情況，作輔助線，將四邊形分成兩個三角形和一個四邊形或兩個三角形，相加可得結論.

（1）∵BD⊥CD

∴∠BDC=90°，BC>CD

∵在“準等邊四邊形”ABCD中，BC≠AB，

∴AB=AD=CD=3,

∵BD=4，

∴BC=,

（2）正確．

如圖所示：

∵AB=AD

∴ΔABD是等腰三角形．

∵AC⊥BD．

∴AC垂直平分BD．

∴BC=CD

∴CD =AB=AD=BC

∴四邊形 ABCD是菱形．

（3）存在四種情況，

如圖2，四邊形ABPC是“準等邊四邊形”,過C作于F，則,

∵EP是AB的垂直平分線，

∴ ,

∴四邊形AEFC是矩形，

在中， ,

∴ ,

∵

∴

∴

如圖4，四邊形ABPC是“準等邊四邊形”,

∵ ,

∴是等邊三角形，

∴ ;

如圖5，四邊形ABPC是“準等邊四邊形”,

∵ ,PE是AB的垂直平分線，

∴ E是AB的中點，

∴ ,

∴

∴

如圖6，四邊形ABPC是“準等邊四邊形”,過P作于F，連接AP，

∵，

∴，

∴