Question

【題目】若經過一個三角形某一頂點的一條直線可把它分成兩個小等腰三角形，那么我們稱該三角形為等腰三角形過該頂點的生成三角形．

（1）如圖，在等腰Rt△ABC中，AB＝AC，∠A＝90°，請問△ABC是否是生成三角形？請你說明理由．

（2）若△ABC是等腰三角形過頂點B的生成三角形，∠C是其最小的內角，請探求∠ABC與∠C之間的關系．

Answer 1

【答案】（1）△ABC是生成三角形，理由見解析；（2）∠ABC＝3∠C，理由見解析．

【解析】

（1）作等腰三角形底邊上的高是常用的輔助線作法，可把等腰直角三角形分成等腰直角三角形；

（2）根據等腰三角形的性質和外角的性質即可得到結論．

（1）證明：過點A作AD⊥BC，垂足為D．

∵AB＝AC，∠BAC＝90°，

∴∠B＝∠C＝45°，∠BAD＝∠CAD＝ ∠BAC＝45°，

∴∠B＝∠BAD，∠C＝∠CAD．

∴△ABD和△ACD是等腰三角形，

∴△ABC是生成三角形

（2）如圖1所示，在△ABC中，∵AC＝BC，

∴∠CAB＝∠CBA，

當BD＝CD＝AB，

∴∠C＝∠CBD，∠A＝∠ADB，

∵∠ADB＝∠C+∠CBD＝2∠C＝∠A，

∴∠ABC＝2∠C，

當BD＝CD，AB＝AD時，∠ABC＝3∠C．

如圖2，由題意得：AB＝BC＝AD，BD＝CD，

∴∠C＝∠A＝∠CBD，∠ABD＝∠ADB，

∵∠ADB＝∠C+∠CBD＝2∠C，

∴∠ABD＝2∠C，

∴∠ABC＝3∠C．