Question

【題目】（1）如圖，AD平分∠BAC，DE∥AB，DF∥AC，EF交AD于點O.請問：DO是∠EDF的平分線？如果是，請給予證明；如果不是，請說明理由.

（2）若將（1）中的結論與①AD平分∠BAC；②DE∥AB；③DF∥AC這三個條件中的任一個互換，所得命題正確嗎？請選擇一種情況說明理由.

Answer 1

【答案】（1）是,理由見解析；（2）正確，理由見解析.

【解析】

（1）DE∥AB，DF∥AC得到平行四邊形AFDE，因為∠EAD=∠FAD和DE∥AB，推出∠EAD=EDA，得出AE=DE，即可得到答案；

（2）①如和AD是∠CAB的角平分線交換，正確，理由與（1）證明過程相似；②如和DE∥AB交換，根據平行線的性質得到∠FDA=∠EAD，根據AD是∠CAB的角平分線，DO是∠EDF的角平分線，推出∠EAF=∠EDF，由平行線的性質得到∠AEF=∠DFE，根據三角形的內角和定理即可求出∠DEF=∠AFE，根據平行線的判定即可推出答案；③如和AE∥DF交換，正確理由與②類似．

（1）DO是∠EDF的角平分線，證明如下：

∵DE∥AB，DF∥AC，

∴四邊形AFDE是平行四邊形，

∵AD是∠CAB的角平分線，

∴∠EAD=∠FAD，

∵DE∥AB，

∴∠EDA=∠FAD，

∴∠EAD=∠EDA，

∴AE=DE，

∴平行四邊形AFDE是菱形，

∴DO是∠EDF的角平分線；

（2）正確．

①如和AD平分∠BAC交換，正確，理由如下：

∵DE∥AB，DF∥AC，

∴四邊形AFDE是平行四邊形，

∵DO是∠EDF的角平分線，

∴∠EDO=∠FDO，

∵DE∥AB，

∴∠DAF=∠EDO，

∴∠DAF=∠FDO，

∴AF=DF，

∴平行四邊形AFDE是菱形，

∴AD是∠BAC的角平分線；

②如和DE∥AB交換，正確，理由如下：

∵AD平分∠BAC，

∴∠EAD=∠FAD ，

∵DO是∠EDF的平分線，

∴∠EDA=∠FDA ，

∵DF∥AC，

∴∠EAD=∠FDA ，

∴∠FAD=∠EDA，

∴DE∥AB；

③如和DF∥AC交換，正確，理由如下：

∵AD平分∠BAC，

∴∠EAD=∠FAD，

∵DO是∠EDF的平分線，

∴∠EDA=∠FDA，

∵DE∥AB，

∴∠EDA=∠FAD，

∴∠EAD=∠FDA，

∴DE∥AB，

綜上可知：將（1）中的結論與①AD平分∠BAC；②DE∥AB；③DF∥AC這三個條件中的任一個互換，所得命題正確.