Question

【題目】如圖(1)，AB=4cm，AC⊥AB于A，BD⊥AB于B，AC=BD=3cm.點P在線段AB上以lcm/s的速度由點A向點B運動，同時，點Q在線段BD上由點B向點D運動．它們運動的時間為t(s)．

(1)若點Q的運動速度與點P的運動速度相等，當t=l時，△ACP與△BPQ是否全等？PC與PQ是否垂直？請分別說明理由；

(2)如圖(2)，將圖(1)中的“AC上AB于A,BD上AB于B”改為“∠CAB=∠DBA=60”，其他條件不變.設點Q的運動速度為x cm/s，是否存在實數x，使得△ACP與△BPQ全等?若存在，求出相應的x、t的值；若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】(1) △ACP≌△BPQ，PC垂直于PQ,理由見解析.(2)存在，見解析.

【解析】試題分析：（1）利用SAS證得△ACP≌△BPQ，得出∠ACP=∠BPQ，進一步得出∠APC+∠BPQ=∠APC+∠ACP=90°得出結論即可；
（2）由△ACP≌△BPQ，分兩種情況：①AC=BP，AP=BQ，②AC=BQ，AP=BP，建立方程組求得答案即可．

試題解析：(1)當t=1時，△ACP≌△BPQ，PC垂直于PQ

理由如下：

當t=1時，AP=BQ=1，BP=AC=3，
又∠A=∠B=90°，
∴在△ACP和△BPQ中，

∴△ACP≌△BPQ．
∴∠ACP=∠BPQ，
∴∠APC+∠BPQ=∠APC+∠ACP=90°．
∴∠CPQ=90°，即線段PC與線段PQ垂直．
（2）①若△ACP≌△BPQ，
則AC=BP，AP=BQ，

解得

②若△ACP≌△BQP，
則AC=BQ，AP=BP，

解得

綜上所述，存在或使得△ACP與△BPQ全等．