Question

【題目】如圖，菱形ABCD中，AB＝5，連接BD，sin∠ABD＝，點P是射線BC上一點（不與點B重合），AP與對角線BD交于點E，連接EC．

（1）求證：AE＝CE；

（2）當點P在線段BC上時，設BP＝n（0＜n＜5），求△PEC的面積；（用含n的代數式表示）

（3）當點P在線段BC的延長線上時，若△PEC是直角三角形，請直接寫出BP的長．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）（0＜n＜5）；（3）線段BP的長為或15

【解析】

（1）由菱形的性質得出BA＝BC，∠ABD＝∠CBD．由SAS證明△ABE≌△CBE，即可得出結論．

（2）連結AC，交BD于點O，過點A作AH⊥BC于H，過點E作EF⊥BC于F，由菱形的性質得出AC⊥BD．由三角函數求出AO＝OC＝，BO＝OD＝2．由菱形面積得出AH＝4，BH＝3．由相似三角形的性質得出＝，求出EF的長，即可得出答案．

（3）因為點P在線段BC的延長線上，所以∠EPC不可能為直角．分情況討論：①當∠ECP＝90°時，②當∠CEP＝90°時，由全等三角形的性質和相似三角形的性質即可得出答案．

（1）∵四邊形ABCD是菱形，

∴BA＝BC，∠ABE＝∠CBE．

在△ABE和△CBE中，，

又∵BE＝BE，

∴△ABE≌△CBE

∴AE＝CE．

（2）連接AC，交BD于點O，過點A作AH⊥BC，過點E作EF⊥BC，如圖1所示，垂足分別為點H、F．

∵四邊形ABCD是菱形，

∴AC⊥BD．

∵AB＝5，sin∠ABD＝，

∴AO＝OC＝，BO＝OD＝2．

∵ACBD＝BCAH，

∴AH＝4，BH＝3．

∵AD∥BC，

∴＝，

∴＝，

∴＝，

∴＝，

∵EF∥AH，

∴＝，

∴EF＝，

∴y＝PCEF＝（5﹣n）＝（0＜n＜5）．

（3）因為點P在線段BC的延長線上，所以∠EPC不可能為直角．如圖2所示：

①當∠ECP＝90°時

∵△ABE≌△CBE，

∴∠BAE＝∠BCE＝90°，

∵cos∠ABP＝＝，

∴＝，

∴BP＝；

②當∠CEP＝90°時，

∵△ABE≌△CBE，

∴∠AEB＝∠CEB＝45°，

∴AO＝OE＝，

∴ED＝，BE＝3．

∵AD∥BP，

∴＝，

∴＝，

∴BP＝15．

綜上所述，當△EPC是直角三角形時，線段BP的長為或15．