Question

如圖，拋物線y=-x²+1與x軸的正半軸交于A點，將OA段的n等分點從左到右分別記為P₁，P₂，…P_n-1，過P_n-1P_n-2的中點分別作x軸的垂線，與拋物線的交點依次記為Q₁，Q₂，…Q_n-1，從而得到n-1個等腰三角形△Q₁OP₁、△Q₂P₁P₂…、△Q_n-1P_n-2P_n-1記這些三角形的面積之和為S，試用n表示為S的函數S_（n）．
提示：1²+2²+3²+…n²=

n(n+1)(2n+1)

6

（n是非零整數）

Answer 1

分析：根據題意可知每個三角形的底邊長均為

1

n

，設出OA上第k個分點的坐標P_k，得出第k個三角形底邊中點坐標O_k，得出第k個三角形面積的表達式，然后把各個面積加起來即可得到答案．

解答：解：∵OA=1，
∴每個三角形的底邊長均為

1

n

，
設OA上的第k個分點為P_k（

k

n

，0）．
記第k個三角形的底邊中點為O_k，則O_k為（

2k-1

2n

，0），
代入y=-x²+1中可以得到y=-(

2k-1

2n

)2+1，
∴第k個三角形的面積為fk=

1

2

×

1

n

[-(

2k-1

2n

)2+1]=

1

2n

-

(2k-1)2

8n3

，
∴S=

n-1

2n

-

1

8n3

[12+32+52+…+(2n-3)2]
=

n-1

2n

-

1

8n3

{[12+22+32+…+(2n-3)2+(2n-2)2]-[22+42+…+(2n-2)2]}，
=

n-1

2n

-

1

8n3

{[12+22+32+…+(2n-3)2+(2n-2)2]-22[12+22+32+…+(n-1)2]}
∵12+22+32+••+n2=

n(n+1)(2n+1)

6

，
∴12+22+32+…+(2n-3)2+(2n-2)2=

(2n-2)(2n-1)(4n-3)

6

，
12+22+32+…+(n-1)2=

n(n-1)(2n-1)

6

，
∴S=

n-1

2n

-

1

8n3

{[12+22+32+…+(2n-3)2+(2n-2)2]-22[12+22+…+(n-1)2]}
=

n-1

2n

-

1

8n3

[

(2n-2)(2n-1)(4n-3)

6

-22

n(n-1)(2n-1)

6

]
=

12n3-14n2+5n-3

24n3

．
綜上可得S_（n）=

12n3-14n2+5n-3

24n3

．

點評：本題考查了二次函數的運用，要求有很高的計算能力，分式之間的相互轉換非常重要，應該記住一些基本的式子．