Question

（2012•長沙）如圖半徑分別為m，n（0＜m＜n）的兩圓⊙O₁和⊙O₂相交于P，Q兩點，且點P（4，1），兩圓同時與兩坐標軸相切，⊙O₁與x軸，y軸分別切于點M，點N，⊙O₂與x軸，y軸分別切于點R，點H．
（1）求兩圓的圓心O₁，O₂所在直線的解析式；
（2）求兩圓的圓心O₁，O₂之間的距離d；
（3）令四邊形PO₁QO₂的面積為S₁，四邊形RMO₁O₂的面積為S₂．
試探究：是否存在一條經過P，Q兩點、開口向下，且在x軸上截得的線段長為

|s1-s2|

2 d

的拋物線？若存在，請求出此拋物線的解析式；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）根據直線過點O₁（m，m），O₂（n，n），利用待定系數法求出其解析式；
（2）本問有一定難度．可分以下步驟解決：
第1步：首先根據P、Q關于連心線對稱，求出Q點的坐標；
第2步：求出m、n．利用兩點間的距離公式，求出O₁Q，而O₁Q=m，從而得到關于m的一元二次方程，求解即可得到m的大小；同理求得n；
第3步：利用兩點間距離公式求d．
（3）本問有一定難度．可分以下步驟解決：
第1步：假設存在這樣的拋物線，其解析式為y=ax²+bx+c，因為開口向下，所以a＜0；
第2步：求出S₁、S₂，再代入計算得：

|s1-s2|

2 d

=1，即拋物線在x軸上截得的線段長為1；
第3步：根據拋物線過點P（4，1），Q（1，4），用待定系數法求得其解析式為：y=ax²-（5a+1）x+5+4a；
第4步：由拋物線在x軸上截得的線段長為1，即|x₁-x₂|=1，得到關于a的一元二次方程，此方程的兩個根均大于0，這與拋物線開口向下（a＜0）相矛盾，所以得出結論：這樣的拋物線不存在．

解答：解：（1）由題意可知O₁（m，m），O₂（n，n），
設過點O₁，O₂的直線解析式為y=kx+b，則有：

mk+b=m nk+b=n

（0＜m＜n），解得

k=1 b=0

，
∴所求直線的解析式為：y=x．

（2）由相交兩圓的性質，可知P、Q點關于O₁O₂對稱．
∵P（4，1），直線O₁O₂解析式為y=x，∴Q（1，4）．
如解答圖1，連接O₁Q．
∵Q（1，4），O₁（m，m），根據兩點間距離公式得到：
O₁Q=

(m-1)2+(m-4)2

=

2m2-10m+17

又O₁Q為小圓半徑，即QO₁=m，
∴

2m2-10m+17

=m，化簡得：m²-10m+17=0 ①
如解答圖1，連接O₂Q，同理可得：n²-10n+17=0 ②
由①，②式可知，m、n是一元二次方程x²-10x+17=0 ③的兩個根，
解③得：x=5±2

2

，∵0＜m＜n，∴m=5-2

2

，n=5+2

2

．
∵O₁（m，m），O₂（n，n），
∴d=O₁O₂=

(m-n)2+(m-n)2

=8．

（3）假設存在這樣的拋物線，其解析式為y=ax²+bx+c，因為開口向下，所以a＜0．
如解答圖2，連接PQ．
由相交兩圓性質可知，PQ⊥O₁O₂．
∵P（4，1），Q（1，4），
∴PQ=

(4-1)2+(1-4)2

=3

2

，又O₁O₂=8，
∴S₁=

1

2

PQ•O₁O₂=

1

2

×3

2

×8=12

2

；
又S₂=

1

2

（O₂R+O₁M）•MR=

1

2

（n+m）（n-m）=20

2

；
∴

|s1-s2|

2 d

=

|12 2 -20 2 |

2 ×8

=1，即拋物線在x軸上截得的線段長為1．
∵拋物線過點P（4，1），Q（1，4），
∴

16a+4b+c=1 a+b+c=4

，解得

b=-(5a+1) c=5+4a

，
∴拋物線解析式為：y=ax²-（5a+1）x+5+4a，
令y=0，則有：ax²-（5a+1）x+5+4a=0，
設兩根為x₁，x₂，則有：x₁+x₂=

5a+1

a

，x₁x₂=

5+4a

a

，
∵在x軸上截得的線段長為1，即|x₁-x₂|=1，
∴（x₁-x₂）²=1，∴（x₁+x₂）²-4x₁x₂=1，
即（

5a+1

a

）²-4（

5+4a

a

）=1，化簡得：8a²-10a+1=0，
解得a=

5± 17

8

，可見a的兩個根均大于0，這與拋物線開口向下（即a＜0）矛盾，
∴不存在這樣的拋物線．

點評：本題是中考壓軸題，綜合考查了二次函數的圖象與性質、待定系數法、一元二次方程的解法及根與系數關系、兩點間的距離公式、相交兩圓的性質和圓的切線的性質等知識，涉及的考點眾多．第（1）問起點不高；第（2）問可以難住不少考生；若沒有（2）的正確計算結果，則第（3）問難以得出正確結論．所以本題難度很大，對考生的綜合解題能力要求很高，但同學們只要平時學習打好基礎，并將所學知識融會貫通，就能夠以不變應萬變．