對同一圖形，從不同的角度看就會有不同的發現，請根據右圖解決以下問題：
（1）如圖，△ABC中，已知∠BAC=45°，AD⊥BC于D，分別以AB、AC所在的直線為對稱軸，作出△ABD、△ACD的軸對稱圖形，點D的對稱點分別為E、F，延長EB、FC相交于G點，試證明四邊形AEGF是正方形；
（2）如圖，在邊長為12cm的正方形AEFG中，點B是邊EG上一點，將邊AE、AF分別沿AB、AC向內翻折至AD處，則點B、D、C在一條直線上，若EB=4cm，求△ABC的面積．

解：（1）∵AD⊥BC于D，
∴∠ADB=∠ADC=90°．
∵△ABE與△ABD關于AB對稱，△ACF與△ACD關于AC對稱，
∴AE=AF，∠E=∠F=90°，∠EAB=∠DAB，∠DAC=∠FAC．
∵∠BAD+∠CAD=45°，
∴∠BAE+∠FAC=45°，
∴∠BAD+∠CAD+∠BAE+∠FAC=90°，
∴四邊形AEGF是矩形，
∵AE=AF，
∴矩形AEGF是正方形．

（2）∵四邊形AEFG是正方形，
∴∠E=∠G=∠F=90°，AE=GE=GF=AF=12，
∵BE=4，
∴BG=8，
設CF=x，則BC=4+x，GC=12-x，
∴64+（12-x）²=（4+x）²，解得
x=6，
∴BC=10，
∴S_△ABC= $\text{[math]}$ ×10×12=60．
分析：（1）由軸對稱及已知條件可以得出∠E=∠F=∠EAF=90°AE=AF，再根據正方形的判定方法就可以得出四邊形AEGF是正方形．
（2）根據條件可以求出BG=8，BD=4，設出CF=x，則BC=4+x，GC=12-x，由勾股定理建立等量關系求出x的值，再利用三角形的面積公式就可以求出其值．
點評：本題是一道軸對稱問題的解答題，考查了三角形的面積，正方形的判定，軸對稱的性質，勾股定理的運用．

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相關習題

科目：初中數學 來源： 題型：閱讀理解

（2013•青島）在前面的學習中，我們通過對同一面積的不同表達和比較，根據圖1和圖2發現并驗證了平方差公式和完全平方公式．
這種利用面積關系解決問題的方法，使抽象的數量關系因幾何直觀而形象化．

【研究速算】
提出問題：47×43，56×54，79×71，…是一些十位數字相同，且個位數字之和是10的兩個兩位數相乘的算式，是否可以找到一種速算方法？
幾何建模：
用矩形的面積表示兩個正數的乘積，以47×43為例：
（1）畫長為47，寬為43的矩形，如圖3，將這個47×43的矩形從右邊切下長40，寬3的一條，拼接到原矩形上面．
（2）分析：原矩形面積可以有兩種不同的表達方式：47×43的矩形面積或（40+7+3）×40的矩形與右上角3×7的矩形面積之和，即47×43=（40+10）×40+3×7=5×4×100+3×7=2021．
用文字表述47×43的速算方法是：十位數字4加1的和與4相乘，再乘以100，加上個位數字3與7的積，構成運算結果．
歸納提煉：
兩個十位數字相同，并且個位數字之和是10的兩位數相乘的速算方法是（用文字表述）

十位數字加1的和與十位數字相乘，再乘以100，加上兩個個位數字的積，構成運算結果

．
【研究方程】
提出問題：怎樣圖解一元二次方程x²+2x-35=0（x＞0）？
幾何建模：
（1）變形：x（x+2）=35．
（2）畫四個長為x+2，寬為x的矩形，構造圖4
（3）分析：圖中的大正方形面積可以有兩種不同的表達方式，（x+x+2）²或四個長x+2，寬x的矩形面積之和，加上中間邊長為2的小正方形面積．
即（x+x+2）²=4x（x+2）+2²
∵x（x+2）=35
∴（x+x+2）²=4×35+2²
∴（2x+2）²=144
∵x＞0
∴x=5
歸納提煉：求關于x的一元二次方程x（x+b）=c（x＞0，b＞0，c＞0）的解．
要求參照上述研究方法，畫出示意圖，并寫出幾何建模步驟（用鋼筆或圓珠筆畫圖，并注明相關線段的長）
【研究不等關系】
提出問題：怎樣運用矩形面積表示（y+3）（y+2）與2y+5的大小關系（其中y＞0）？
幾何建模：
（1）畫長y+3，寬y+2的矩形，按圖5方式分割
（2）變形：2y+5=（y+3）+（y+2）
（3）分析：圖5中大矩形的面積可以表示為（y+3）（y+2）；陰影部分面積可以表示為（y+3）×1，畫點部分部分的面積可表示為y+2，由圖形的部分與整體的關系可知（y+3）（y+2）＞（y+3）+（y+2），即（y+3）（y+2）＞2y+5
歸納提煉：
當a＞2，b＞2時，表示ab與a+b的大小關系．
根據題意，設a=2+m，b=2+n（m＞0，n＞0），要求參照上述研究方法，畫出示意圖，并寫出幾何建模步驟（用鋼筆或圓珠筆畫圖并注明相關線段的長）

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科目：初中數學 來源： 題型：

對同一圖形，從不同的角度看就會有不同的發現，請根據右圖解決以下問題：
（1）如圖，△ABC中，已知∠BAC=45°，AD⊥BC于D，分別以AB、AC所在的直線為對稱軸，作出△ABD、△ACD的軸對稱圖形，點D的對稱點分別為E、F，延長EB、FC相交于G點，試證明四邊形AEGF是正方形；
（2）如圖，在邊長為12cm的正方形AEFG中，點B是邊EG上一點，將邊AE、AF分別沿AB、AC向內翻折至AD處，則點B、D、C在一條直線上，若EB=4cm，求△ABC的面積．

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科目：初中數學 來源：2013年初中畢業升學考試（山東青島卷）數學（解析版） 題型：解答題

在前面的學習中，我們通過對同一面積的不同表達和比較，根據圖①和圖②發現并驗證了平方差公式和完全平方公式

這種利用面積關系解決問題的方法，使抽象的數量關系因集合直觀而形象化。

【研究速算】

提出問題：47×43，56×54，79×71，……是一些十位數字相同，且個位數字之和是10的兩個兩位數相乘的算式，是否可以找到一種速算方法？

幾何建模：

用矩形的面積表示兩個正數的乘積，以47×43為例：

（1）畫長為47，寬為43的矩形，如圖③，將這個47×43的矩形從右邊切下長40，寬3的一條，拼接到原矩形的上面。

（2）分析：原矩形面積可以有兩種不同的表達方式，47×43的矩形面積或（40＋7＋3）×40的矩形與右上角3×7的矩形面積之和，即47×43＝（40＋10）×40＋3×7＝5×4×100＋3×7＝2021，用文字表述47×43的速算方法是：十位數字4加1的和與4相乘，再乘以100，加上個位數字3與7的積，構成運算結果。