Question

（2011•成華區二模）如圖（1），拋物線C：y=x²+bx+c與x軸正半軸交于A（x₁，0），B（x₂，0）兩點，與y軸交于點C（0，2），已知x₁-2x₂=-3．
（1）求拋物線C的解析式；
（2）連接AC．若點P在拋物線C的對稱軸上，求使△APC為等腰三角形的點P的坐標；
（3）將圖（1）中的拋物線C向下平移6個單位得到圖（2）所示的拋物線F．若點M是拋物線F上B₁、C₁間的一個動點（不與B₁、C₁重合），試問是否存在點M使得四邊形A₁B₁MC₁的面積最大？若存在，求出點M的坐標和最大面積；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）由點C的坐標不難得到c的值，而拋物線與x軸交于A、B兩點，那么x₁、x₂必為方程x²+bx+c=0的兩根，由根與系數的關系可知x₁x₂=c，聯立題干中的x₁、x₂關系式，解方程組即可求出A、B兩點的坐標，再利用待定系數法確定函數的解析式．
（2）拋物線的對稱軸易知，首先設出點P的坐標，從而能得到AP、CP、AC三邊長，然后分：①AP=CP、②AP=AC、③CP=AC三種情況，列等式求解．
（3）先求出平移后的拋物線解析式，進一步能求出點A₁、B₁、C₁三點坐標；通過圖示不難看出，四邊形A₁B₁MC可分作△A₁C₁B₁、△C₁MB₁兩部分，△A₁C₁B₁的面積是定值，關鍵是求出△C₁MB₁的面積表達式，首先過點M作x軸的垂線，交直線B₁C₁于點N，那么△B₁MC₁的面積可由（

1

2

×OB₁×MN）求得，由此求得關于四邊形A₁C₁MB₁的面積與點M橫坐標的函數關系式，再根據函數的性質求解即可．

解答：解：（1）∵拋物線C：y=x²+bx+c與y軸交于C（0，2），∴c=2；
依題意，拋物線C：y=x²+bx+2與x軸交于A（x₁，0），B（x₂，0）兩點，則：
x₁、x₂是方程x²+bx+2=0的兩個根，可得：x₁•x₂=2…①；
而x₁-2x₂=-3，即x₁=2x₂-3，代入①，得：（2x₂-3）x₂=2，解得 x₂=2（負值舍去）
則 x₁=1，∴A（1，0）、B（2，0）；
可求得拋物線的解析式：y=x²-3x+2．

（2）依題意，設P（

3

2

，y），已知：A（1，0）、C（0，2），有：
AP²=y²+

1

4

、AC²=5、PC²=y²-4y+

25

4

；
若△APC是等腰三角形，有三種情況：
①AP=AC，得：
y²+

1

4

=5，解得 y=±

19

2

；
②AP=PC，得：
y²+

1

4

=y²-4y+

25

4

，解得 y=

3

2

；
③AC=PC，得：
y²-4y+

25

4

=5，解得 y=

4± 11

2

；
∴點P的坐標為（

3

2

，

19

2

）、（

3

2

，-

19

2

）、（

3

2

，

3

2

）、（

3

2

，

4+ 11

2

）、（

3

2

，

4- 11

2

）．

（3）由（1）知：拋物線C：y=x²-3x+2=（x-

3

2

）²-

1

4

，向下平移6個單位后，得：
拋物線F：y=（x-

3

2

）²-

1

4

=（x-

3

2

）²-

1

4

-6=x²-3x-4=（x+1）（x-4）；
∴A₁（-1，0）、B₁（4，0）、C₁（0，-4）．
易知，直線B₁C₁：y=x-4，過點M作MN⊥x軸，交直線B₁C₁于N，如右圖；
設點M（m，m²-3m+2），則 N（m，m-4），MN=m-4-（m²-3m+2）=-m²+4m，
四邊形A₁C₁MB₁的面積：S=S△A1C1B1+S△C1MB1=

1

2

×5×4+

1

2

×4×（-m²+4m）=-2（m-2）²+18；
∴存在使四邊形A₁C₁MB₁面積最大的點M，且點M的坐標為（2，2），四邊形的最大面積為18．

點評：題目主要考查了函數解析式的確定、二次函數與一元二次方程的聯系、等腰三角形的判定和性質以及圖形面積的解法等知識；（3）題在不確定等腰三角形的腰和底的情況下要進行分類討論；（4）題的解法較多，除解答部分的方法外，還可以過點M作x軸的垂線，將四邊形A₁C₁MB₁分成兩個三角形以及一個梯形來解等方法．