Question

【題目】我們把兩條中線互相垂直的三角形稱為“中垂三角形”，例如圖1，圖2，圖3中，AF，BE是△ABC的中線，AF⊥BE，垂足為P，像△ABC這樣的三角形均為“中垂三角形”，設BC=a，AC=b，AB=c．

（1）【特例探索】
如圖1，當∠ABE=45°，c=2 時，a= ， b=；如圖2，當∠ABE=30°，c=4時，a= ， b=；
（2）【歸納證明】
請你觀察（1）中的計算結果，猜想a2 ， b2 ， c2三者之間的關系，用等式表示出來，請利用圖3證明你發現的關系式；
（3）【拓展應用】
如圖4，在ABCD中，點E，F，G分別是AD，BC，CD的中點，BE⊥EG，AD=2 ，AB=3．求AF的長．

Answer 1

【答案】
（1）2 ；2 ；2 ；2
（2）

猜想：a 2，b2，c2三者之間的關系是：a2+b2=5c2，

證明：如圖3，連接EF，

∵AF，BE是△ABC的中線，

∴EF是△ABC的中位線，

∴EF∥AB．且 EF= AB= c．

∴

設 PF=m，PE=n 則AP=2m，PB=2n，

在Rt△APB中，（2m）2+（2n）2=c2①

在Rt△APE中，（2m）2+n2=（ ）2②

在Rt△BPF中，m2+（2n）2=（ ）2③

由①得：m2+n2= ，由②+③得：5（ m2+n2）= ，

∴a 2+b2=5 c2；

（3）

如圖4，連接AC，EF交于H，AC與BE交于點Q，設BE與AF的交點為P，

∵點E、G分別是AD，CD的中點，

∴EG∥AC，

∵BE⊥EG，

∴BE⊥AC，

∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴AD∥BC，AD=BC=2 ，

∴∠EAH=∠FCH，

∵E，F分別是AD，BC的中點，

∴AE= AD，BF= BC，

∴AE=BF=CF= AD= ，

∵AE∥BF，

∴四邊形ABFE是平行四邊形，

∴EF=AB=3，AP=PF，

在△AEH和△CFH中， ，

∴△AEH≌△CFH，

∴EH=FH，

∴EP，AH分別是△AFE的中線，

由（2）的結論得：AF2+EF2=5AE2，

∴AF2=5（ ）2﹣EF2=16，

∴AF=4．

【解析】解：（1.）∵AF⊥BE，∠ABE=45°，
∴AP=BP= AB=2，
∵AF，BE是△ABC的中線，
∴EF∥AB，EF= AB= ，
∴∠PFE=∠PEF=45°，
∴PE=PF=1，
在Rt△FPB和Rt△PEA中，
AE=BF= = ，
∴AC=BC=2 ，
∴a=b=2 ，
如圖2，連接EF，

同理可得：EF= ×4=2，
∵EF∥AB，
∴△PEF～△ABP，
∴ ，
在Rt△ABP中，
AB=4，∠ABP=30°，
∴AP=2，PB=2 ，
∴PF=1，PE= ，
在Rt△APE和Rt△BPF中，
AE= ，BF= ，
∴a=2 ，b=2 ，
所以答案是：2 ，2 ，2 ，2 ；
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解三角形的“三線”的相關知識，掌握1、三角形角平分線的三條角平分線交于一點(交點在三角形內部，是三角形內切圓的圓心，稱為內心);2、三角形中線的三條中線線交于一點(交點在三角形內部，是三角形的幾何中心，稱為中心);3、三角形的高線是頂點到對邊的距離；注意：三角形的中線和角平分線都在三角形內，以及對相似三角形的應用的理解，了解測高：測量不能到達頂部的物體的高度，通常用“在同一時刻物高與影長成比例”的原理解決；測距：測量不能到達兩點間的舉例，常構造相似三角形求解．