Question

已知，如圖，點C在線段AB上，在AB的同旁作等邊△ADC和等邊△BCE，連接AE、BD交CD、CE于M、N，
（1）求證：AE=BD；
（2）求證：△CMN為等邊三角形；
（3）如果把△BEC繞著C點旋轉任意角度，上述結論中哪些成立？試說明理由．

Answer 1

分析：（1）根據等邊三角形性質推出AC=CD，BC=CE，∠DCA=∠ECB=60°，求出∠ACE=∠DCB，根據SAS證△ACE≌△DCB即可；
（2）求出∠ECD=60°，推出∠AEC=∠DBC，證△EMC≌△BNC，推出CN=CM即可．
（3）結論（1）正確，根據（1）的推理過程即可得出答案．

解答：（1）證明：∵等邊△ADC和△BCE，
∴AC=CD，BC=CE，∠DCA=∠ECB=60°，
∴∠DCA+∠DCE=∠ECB+∠DCE，
∴∠ACE=∠DCB，
在△ACE和△DCB中

AC=DC ∠ACE=∠DCB CE=BC

，
∴△ACE≌△DCB，
∴AE=BD．

（2）證明：∵△ACE≌△DCB，
∴∠DBC=∠AEC，
∵∠DCE=180°-∠ACD-∠BCE=60°=∠BCE，
在△EMC和△BNC中

∠ECB=∠ECM ∠AEC=∠CBD EC=BC

，
∴△EMC≌△BNC，
∴CM=CN，
∵∠MCN=60°，
∴△CMN是等邊三角形．

（3）結論（1）成立，
理由是：不論旋轉多少度，AC=CD，BC=CE，∠DCA=∠ECB=60°，
推出∠ACE=∠BCD，
∴△ACE≌△DCB，
∴AE=BD．

點評：本題考查了對全等三角形的性質和判定，等邊三角形的性質和判定的應用，主要培養學生運用性質進行推理的能力．