Question

在一節數學實踐活動課上，老師拿出三個邊長都為5cm的正方形硬紙板，他向同學們提出了這樣一個問題：若將三個正方形紙板不重疊地放在桌面上，用一個圓形硬紙板將其蓋住，這樣的圓形硬紙板的最小直徑應有多大？問題提出后，同學們經過討論，大家覺得本題實際上就是求將三個正方形硬紙板無重疊地適當放置，圓形硬紙板能蓋住時的最小直徑．老師將同學們討論過程中探索出的三種不同擺放類型的圖形畫在黑板上，如下圖所示：
（1）通過計算（結果保留根號與π）．
（Ⅰ）圖①能蓋住三個正方形所需的圓形硬紙板最小直徑應為

 

cm；
（Ⅱ）圖②能蓋住三個正方形所需的圓形硬紙板最小直徑為

 

cm；
（Ⅲ）圖③能蓋住三個正方形所需的圓形硬紙板最小直徑為

 

cm；
（2）其實上面三種放置方法所需的圓形硬紙板的直徑都不是最小的，請你畫出用圓形硬紙板蓋住三個正方形時直徑最小的放置方法，（只要畫出示意圖，不要求說明理由），并求出此時圓形硬紙板的直徑．

Answer 1

分析：（1）（Ⅰ）連接正方形的對角線BD，利用勾股定理求出BD的長即可；
（Ⅱ）利用勾股定理求出小正方形對角線的長即可；
（Ⅲ）找出過A、B、C三點的圓的圓心及半徑，利用勾股定理求解即可；
（2）連接OB，ON，延長OH交AB于點P，則OP⊥AB，P為AB中點，設OG=x，則OP=10-x，再根據勾股定理解答．

解答：解：（1）（Ⅰ）連接BD，

∵AD=3×5=15cm，AB=5cm，
∴BD=

152+52

=5

10

cm；
（Ⅱ）如圖所示，

∵三個正方形的邊長均為5，
∴A、B、C三點在以O為圓心，以OA為半徑的圓上，
∴OA=

52+52

=5

2

cm，
∴能蓋住三個正方形所需的圓形硬紙板最小直徑為10

2

cm；
（Ⅲ）如圖所示，

∵CE⊥AB，AC=BC，
∴CE是過A、B、C三點的圓的直徑，
∵OA=OB=OD，
∴O為圓心，
∴⊙O的半徑為OA，
OA=

52+52

=5

2

cm，
∴能蓋住三個正方形所需的圓形硬紙板最小直徑為5

2

×2=10

2

cm；
（2）如圖④為蓋住三個正方形時直徑最小的放置方法，（5分）

連接OB，ON，延長OH交AB于點P，則OP⊥AB，P為AB中點，
設OG=x，則OP=10-x，
則有：x2+52=(10-x)2+(

5

2

)2，（7分）
解得：x=

65

16

，（8分）
則ON=

52+( 65 16 )2

=

25 17

16

，
∴直徑為

25 17

8

．（9分）

點評：此題比較復雜，解答此題的關鍵是找出找出以各邊頂點為頂點的圓的圓心及半徑，再根據勾股定理解答．