Question

【題目】如圖，拋物線y=ax2+6x+c交x軸于A，B兩點，交y軸于點C．直線y=x﹣5經過點B，C．

（1）求拋物線的解析式；

（2）過點A的直線交直線BC于點M．

①當AM⊥BC時，過拋物線上一動點P（不與點B，C重合），作直線AM的平行線交直線BC于點Q，若以點A，M，P，Q為頂點的四邊形是平行四邊形，求點P的橫坐標；

②連接AC，當直線AM與直線BC的夾角等于∠ACB的2倍時，請直接寫出點M的坐標．

Answer 1

【答案】（1）拋物線解析式為y=﹣x2+6x﹣5；（2）①P點的橫坐標為4或或；②點M的坐標為（，﹣）或（，﹣）．

【解析】（1）利用一次函數解析式確定C（0，-5），B（5，0），然后利用待定系數法求拋物線解析式；

（2）①先解方程-x2+6x-5=0得A（1，0），再判斷△OCB為等腰直角三角形得到∠OBC=∠OCB=45°，則△AMB為等腰直角三角形，所以AM=2，接著根據平行四邊形的性質得到PQ=AM=2，PQ⊥BC，作PD⊥x軸交直線BC于D，如圖1，利用∠PDQ=45°得到PD=PQ=4，設P（m，-m2+6m-5），則D（m，m-5），討論：當P點在直線BC上方時，PD=-m2+6m-5-（m-5）=4；當P點在直線BC下方時，PD=m-5-（-m2+6m-5），然后分別解方程即可得到P點的橫坐標；

②作AN⊥BC于N，NH⊥x軸于H，作AC的垂直平分線交BC于M1，交AC于E，如圖2，利用等腰三角形的性質和三角形外角性質得到∠AM1B=2∠ACB，再確定N（3，-2），

AC的解析式為y=5x-5，E點坐標為（，-），利用兩直線垂直的問題可設直線EM1的解析式為y=-x+b，把E（，-）代入求出b得到直線EM1的解析式為y=-x-，則解方程組得M1點的坐標；作直線BC上作點M1關于N點的對稱點M2，如圖2，利用對稱性得到∠AM2C=∠AM1B=2∠ACB，設M2（x，x-5），根據中點坐標公式得到3=，然后求出x即可得到M2的坐標，從而得到滿足條件的點M的坐標．

（1）當x=0時，y=x﹣5=﹣5，則C（0，﹣5），

當y=0時，x﹣5=0，解得x=5，則B（5，0），

把B（5，0），C（0，﹣5）代入y=ax2+6x+c得

，解得，

∴拋物線解析式為y=﹣x2+6x﹣5；

（2）①解方程﹣x2+6x﹣5=0得x1=1，x2=5，則A（1，0），

∵B（5，0），C（0，﹣5），

∴△OCB為等腰直角三角形，

∴∠OBC=∠OCB=45°，

∵AM⊥BC，

∴△AMB為等腰直角三角形，

∴AM=AB=×4=2，

∵以點A，M，P，Q為頂點的四邊形是平行四邊形，AM∥PQ，

∴PQ=AM=2，PQ⊥BC，

作PD⊥x軸交直線BC于D，如圖1，則∠PDQ=45°，

∴PD=PQ=×2=4，

設P（m，﹣m2+6m﹣5），則D（m，m﹣5），

當P點在直線BC上方時，

PD=﹣m2+6m﹣5﹣（m﹣5）=﹣m2+5m=4，解得m1=1，m2=4，

當P點在直線BC下方時，

PD=m﹣5﹣（﹣m2+6m﹣5）=m2﹣5m=4，解得m1=，m2=，

綜上所述，P點的橫坐標為4或或；

②作AN⊥BC于N，NH⊥x軸于H，作AC的垂直平分線交BC于M1，交AC于E，如圖2，

∵M1A=M1C，

∴∠ACM1=∠CAM1，

∴∠AM1B=2∠ACB，

∵△ANB為等腰直角三角形，

∴AH=BH=NH=2，

∴N（3，﹣2），

易得AC的解析式為y=5x﹣5，E點坐標為（，﹣，

設直線EM1的解析式為y=﹣x+b，

把E（，﹣）代入得﹣+b=﹣，解得b=﹣，

∴直線EM1的解析式為y=﹣x﹣

解方程組得，則M1（，﹣）；

作直線BC上作點M1關于N點的對稱點M2，如圖2，則∠AM2C=∠AM1B=2∠ACB，

設M2（x，x﹣5），

∵3=

∴x=，

∴M2（，﹣）.

綜上所述，點M的坐標為（，﹣）或（，﹣）．