Question

【題目】如圖在△ABC中，AB＝AC，以BC為直角邊作等腰Rt△BCD，∠CBD＝90°，斜邊CD交AB于點E．

（1）如圖1，若∠ABC＝60°，BE＝4，作EH⊥BC于H，求線段CE的長；

（2）如圖2，作CF⊥AC，且CF＝AC，連接BF，且E為AB中點，求證：CD＝2BF．

Answer 1

【答案】（1）2；（2）詳見解析．

【解析】

（1）由直角三角形的性質可求BH＝2，EH＝2，由等腰直角三角形的性質可得EH＝CH＝2，即可求EC的長；、

（2）過點A作AM⊥BC，由平行線分線段成比例可得CD＝2CN，AN＝BD，由“SAS”可證△ACN≌△CFB，可得結論．

解：（1）∵∠ABC＝60°，EH⊥BC，

∴∠BEH＝30°，

∴BE＝2BH＝4，EH＝BH，

∴BH＝2，EH＝2，

∵∠CBD＝90°，BD＝BC，

∴∠BCD＝45°，且EH⊥BC，

∴∠BCD＝∠BEC＝45°，

∴EH＝CH＝2，

∴CE＝EH＝2；

（2）如圖，過點A作AM⊥BC，

∵AB＝AC，AM⊥BC，

∴BM＝MC＝BC＝DB，

∵∠DCB＝45°，AM⊥BC，

∴∠DCB＝∠MNC＝45°，

∴MN＝MC＝BD，

∵AM∥DB，

∴，，

∴CD＝2CN，AN＝BD，

∵CF⊥AC，∠BCD＝45°，

∴∠ACD+∠BCF＝45°，且∠ACD+∠MAC＝45°，

∴∠BCF＝∠MAC，且AC＝CF，BC＝AN，

∴△ACN≌△CFB（SAS）

∴BF＝CN，

∴CD＝2BF