Question

【題目】如圖，AB是半圓O的直徑，射線AM⊥AB，點P在AM上，連接OP交半圓O于點D，PC切半圓O于點C，連接BC，OC．
（1）求證：△OAP≌△OCP；
（2）若半圓O的半徑等于2，填空： ①當AP=時，四邊形OAPC是正方形；
②當AP=時，四邊形BODC是菱形．

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵PC切半圓O于點C，

∴OC⊥PC，

∵AM⊥AB，

∴∠OAP=90°，

在Rt△OAP和Rt△OCP中

，

∴Rt△OAP≌Rt△OCP

（2）2；2
【解析】（2）解：①∵Rt△OAP≌Rt△OCP，

∴PA=PC，

而OA=OC，

∴當AO=AP時，四邊形OAPC為菱形，

而∠OAP=90°，

∴四邊形OAPC是正方形，

此時AP=OA=2；

②∵四邊形BODC是菱形，

∴OB=OD=CD=BC，BC∥OD，

∴△OBC為等邊三角形，

∴∠B=60°，

∴∠AOP=60°，

在Rt△OAP中，∵tan∠AOP= ，

∴AP=2tan60°=2 ，

即AP=2 時，四邊形BODC是菱形．

所以答案是2，2 ．