Question

（2013•桐鄉市一模）如圖，在平面直角坐標系中，⊙M與x軸相交于點A、B，與y軸相交于點C、D，圓心M在x軸的負半軸上，過點C的圓的切線與線段DB的延長線相交于點P．已知：點C的坐標是（0，

12

5

），tan∠BAC=

3

4

．
（1）求證：△PCB∽△PDC；
（2）求線段PC的長．

Answer 1

分析：（1）利用切線的性質得出∠MCB+∠PCB=90°，進而利用MC=MB，得出∠MCB=∠OBC，以及∠PCB=∠PDC即可得出；
（2）首先證明△AOC∽△COB，進而得出

OB

OC

=

OC

OA

，進而得出OB，BD的長，由△PCB∽△PDC得出

PC

PD

=

BC

CD

，即可得出PC的長．

解答：解：（1）連結MC，
∵圓心M在x軸的負半軸上，∴AB⊥CD于點O，
∴

BC

=

BD

，∠OCB+∠OBC=90°，
∴∠OCB=∠PDC，
∵PC與⊙M相切于點C，∴PC⊥MC，
∴∠MCB+∠PCB=90°，
又∵MC=MB，∴∠MCB=∠OBC，∴∠PCB=∠PDC，
又∵∠P=∠P，∴△PCB∽△PDC；

（2）∵點C的坐標是(0，

12

5

)，
∴OD=OC=

12

5

，
∵tan∠BAC=

OC

OA

=

3

4

，
∴OA=

4

3

×

12

5

=

16

5

，
∵AB是⊙M的直徑，∴∠ACB=90°，
∴∠OCB+∠ACO=90°，而∠OAC+∠ACO=90°，
∴∠OAC=∠OCB，
又∵∠AOC=∠COB=90°，
∴△AOC∽△COB，
∴

OB

OC

=

OC

OA

，
∴OB=

OC2

OA

=(

12

5

)2×

5

16

=

9

5

，
∴BD=BC=

OB2+OC2

=3，
設PC=x，BP=y，
由△PCB∽△PDC得：

PC

PD

=

BC

CD

，
即

x

3+y

=

y

x

=

3

24 5

，
解得：PC=x=

40

13

．

點評：此題主要考查了相似三角形的判定與性質以及切線的判定與性質，熟練掌握相似三角形的判定方法得出△AOC∽△COB是解題關鍵．