Question

【題目】如圖，在Rt△ABC中，∠CBA=90°，∠CAB的角平分線AP和∠ACB外角的平分線CF相交于點D，AD交CB于點P，CF交AB的延長線于點F，過點D作DE⊥CF交CB的延長線于點G，交AB的延長線于點E，連接CE并延長交FG于點H，則下列結論：①∠CDA=45°；②AF-CG=CA；③DE=DC；④FH=CD+GH；⑤CF=2CD+EG．其中正確的有（　　）

A. ①②④ B. ①②③ C. ①②④⑤ D. ①②③⑤

Answer 1

【答案】D

【解析】試題解析：①利用公式：∠CDA=∠ABC=45°，①正確；

②如圖：延長GD與AC交于點P'，

由三線合一可知CG=CP'，

∵∠ADC=45°，DG⊥CF，

∴∠EDA=∠CDA=45°，

∴∠ADP=∠ADF，

∴△ADP'≌△ADF（ASA），

∴AF=AP'=AC+CP'=AC+CG，故②正確；

③如圖：

∵∠EDA=∠CDA，

∠CAD=∠EAD，

從而△CAD≌△EAD，

故DC=DE，③正確；

④∵BF⊥CG，GD⊥CF，

∴E為△CGF垂心，

∴CH⊥GF，且△CDE、△CHF、△GHE均為等腰直角三角形，

∴HF=CH=EH+CE=GH+CE=GH+CD，故④錯誤；

⑤如圖：作ME⊥CE交CF于點M，

則△CEM為等腰直角三角形，從而CD=DM，CM=2CD，EM=EC，

∵∠MFE=∠CGE，

∠CEG=∠EMF=135°，

∴△EMF≌△CEG（AAS），

∴GE=MF，

∴CF=CM+MF=2CD+GE，

故⑤正確；

故選D