Question

【題目】已知兩個二次函數y1=x2+bx+c和y2=x2+m．對于函數y1 ， 當x=2時，該函數取最小值．
（1）求b的值；
（2）若函數y1的圖象與坐標軸只有2個不同的公共點，求這兩個公共點間的距離；
（3）若函數y1、y2的圖象都經過點（1，﹣2），過點（0，a﹣3）（a為實數）作x軸的平行線，與函數y1、y2的圖象共有4個不同的交點，這4個交點的橫坐標分別是x1、x2、x3、x4 ， 且x1＜x2＜x3＜x4 ， 求x4﹣x3+x2﹣x1的最大值．

Answer 1

【答案】
（1）

解：由題意知：函數y1的對稱軸為x=2，

∴﹣ =2，

∴b=﹣4

（2）

解：由題意知：△=b2﹣4c=16﹣4c，

當△＞0時，

∴c＜4，

此時函數y1與x軸有兩個不同的交點，

由于若函數y1的圖象與坐標軸只有2個不同的公共點，

∴c=0，

∴y1=x2﹣4x，

令y1=0，

∴x=0或x=4，

∴兩個公共點間的距離為4，

當△=0時，

∴c=4，

此時拋物線與x軸只有一個交點，與y軸只有一個交點，

∴兩個公共點間的距離，由勾股定理可求得： =2

（3）

解：∵函數y1、y2的圖象都經過點（1，﹣2），

∴將（1，﹣2）代入函數y1和函數y2，

∴﹣2=1﹣4+c，

﹣2=1+m，

∴c=1，m=﹣3，

∴函數y1=x2﹣4x+1，函數y2=x2﹣3，

聯立

解得：x=1，y=﹣2，

∵過點（0，a﹣3）作x軸的平行線，與函數y1、y2的圖象共有4個不同的交點，

∴﹣3＜a﹣3＜﹣2或a﹣3＞﹣2

當﹣3＜a﹣3＜﹣2時，如圖1，

即0＜a＜1，

令y=a﹣3代入y1，

∴x2﹣4x+4﹣a=0，

∴x3=2﹣ ，x4=2+ ，

令y=a﹣3代入y2，

a﹣3=x2﹣3，

∴x1=﹣ ，x2= ，

∴x4﹣x3+x2﹣x1=4 ，

∵0＜a＜1，

∴0＜4 ＜4，

當a﹣3＞﹣2，如圖2，

即a＞1，

令y=a﹣3代入y1，

∴x2﹣4x+4﹣a=0，

∴x2=2﹣ ，x4=2+ ，

令y=a﹣3代入y2，

a﹣3=x2﹣3，

∴x1=﹣ ，x3= ，

∴x4﹣x3+x2﹣x1=4，

綜上所述，過點（0，a﹣3）（a為實數）作x軸的平行線，與函數y1、y2的圖象共有4個不同的交點時，x4﹣x3+x2﹣x1的最大值為4．

【解析】（1）由于題意知x=2時，該函數取得最小值，所以x=2時該函數y1的對稱軸；（2）若函數y1的圖象與坐標軸只有2個不同的公共點，則分為兩種情況討論，一種是拋物線與x軸有兩個交點時，另一種是拋物線與x軸有1個交點，然后分別求出C的值即可；（3）函數y1與y2經過（1，﹣2），所以可求出c與m的值，根據函數解析式畫出圖象可知，若過點（0，a﹣3）（a為實數）作x軸的平行線，與函數y1、y2的圖象共有4個不同的交點時，則﹣3＜a﹣3＜﹣2或a﹣3＞﹣2．
【考點精析】認真審題，首先需要了解二次函數的最值(如果自變量的取值范圍是全體實數，那么函數在頂點處取得最大值（或最小值），即當x=-b/2a時，y最值=(4ac-b2)/4a)．