Question

如圖，AB是⊙O的直徑，C是BA延長線上的一點，CD與⊙O相切于點D，連接OD，四邊形PQRS是矩形，其中點P、Q在半徑OA上，點R在半徑OD上，點S在⊙O上．已知CD=4，CO=5，PQ=2RQ，
（1）求

OQ

RQ

的值；
（2）求矩形PQRS的面積．

Answer 1

分析：（1）在Rt△ODC中，用勾股定理可求得⊙O的半徑OD的長，易證得△ORQ∽△OCD，根據得到的比例線段即可求得OQ、RQ的比值．（利用∠DOC的余弦值求解亦可．）
（2）首先設出PQ的長，然后表示出OQ、PQ的值，連接OS，在Rt△OSP中，利用勾股定理易得RQ²的值，即可求得矩形PQRS的面積．

解答：解：（1）因為CD與⊙O相切于點D，所以OD⊥CD．
在Rt△COD中，根據勾股定理，得
OD=

52-42

=3．（2分）
在△ORQ和△OCD中，因為∠OQR=∠ODC=90°，∠ROQ=∠COD，
所以Rt△ORQ∽Rt△OCD，（4分）
所以

OQ

OD

=

RQ

CD

，即

OQ

3

=

RQ

4

，所以

OQ

RQ

=

3

4

．（5分）
（用三角函數解，相應給分）

（2）連接OS．設RQ=x，則PQ=2x．由（1）知OQ=

3

4

x．
在Rt△OSP中，OP=PQ+OQ=2x+

3

4

x=

11

4

x．（7分）
根據勾股定理，得SP²+OP²=OS²，即x2+(

11

4

x)2=32，
解得x2=

144

137

，（9分）
所以2x2=

288

137

，即矩形PQRS的面積為

288

137

．

點評：此題考查的知識點有：切線的性質、相似三角形的判定和性質、勾股定理以及矩形面積的計算方法，難度適中．