Question

【題目】如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=8，BC=6，CD⊥AB于點D．點P從點D出發，沿線段DC向點C運動，點Q從點C出發，沿線段CA向點A運動，兩點同時出發，速度都為每秒1個單位長度，當點P運動到C時，兩點都停止．設運動時間為t秒．

（1）求線段CD的長；

（2）設△CPQ的面積為S，求S與t之間的函數關系式，并確定在運動過程中是否存在某一時刻t，使得S△CPQ：S△ABC=9：100？若存在，求出t的值；若不存在，則說明理由．

（3）是否存在某一時刻t，使得△CPQ為等腰三角形？若存在，求出所有滿足條件的t的值；若不存在，則說明理由．

Answer 1

【答案】（1）線段CD的長為4.8；（2）當t=秒或t=3秒時，S△CPQ：S△ABC=9：100；（3）當t為2.4秒或秒或秒時，△CPQ為等腰三角形．

【解析】

試題分析：（1）利用勾股定理可求出AB長，再用等積法就可求出線段CD的長．

（2）過點P作PH⊥AC，垂足為H，通過三角形相似即可用t的代數式表示PH，從而可以求出S與t之間的函數關系式；利用S△CPQ：S△ABC=9：100建立t的方程，解方程即可解決問題．

（3）可分三種情況進行討論：由CQ=CP可建立關于t的方程，從而求出t；由PQ=PC或QC=QP不能直接得到關于t的方程，可借助于等腰三角形的三線合一及三角形相似，即可建立關于t的方程，從而求出t．

解：（1）如圖1，∵∠ACB=90°，AC=8，BC=6，

∴AB=10．

∵CD⊥AB，

∴S△ABC=BCAC=ABCD．

∴CD===4.8．

∴線段CD的長為4.8；

（2）①過點P作PH⊥AC，垂足為H，如圖2所示．

由題可知DP=t，CQ=t．

則CP=4.8﹣t．

∵∠ACB=∠CDB=90°，

∴∠HCP=90°﹣∠DCB=∠B．

∵PH⊥AC，

∴∠CHP=90°．

∴∠CHP=∠ACB．

∴△CHP∽△BCA．

∴=．

∴=．

∴PH=﹣t．

∴S△CPQ=CQPH=t（﹣t）=﹣t2+t；

②存在某一時刻t，使得S△CPQ：S△ABC=9：100．

∵S△ABC=×6×8=24，且S△CPQ：S△ABC=9：100，

∴（﹣t2+t）：24=9：100．

整理得：5t2﹣24t+27=0．

即（5t﹣9）（t﹣3）=0．

解得：t=或t=3．

∵0≤t≤4.8，

∴當t=秒或t=3秒時，S△CPQ：S△ABC=9：100；

（3）存在

①若CQ=CP，如圖1，

則t=4.8﹣t．

解得：t=2.4．…（7分）

②若PQ=PC，如圖2所示．

∵PQ=PC，PH⊥QC，

∴QH=CH=QC=．

∵△CHP∽△BCA．

∴=．

∴=．

解得；t=．

③若QC=QP，

過點Q作QE⊥CP，垂足為E，如圖3所示．

同理可得：t=．

綜上所述：當t為2.4秒或秒或秒時，△CPQ為等腰三角形．