Question

使得函數值為零的自變量的值稱為函數的零點。例如，對于函數，令y=0，可得x=1，我們就說1是函數的零點。
己知函數 (m為常數)。
（1）當=0時，求該函數的零點；
（2）證明：無論取何值，該函數總有兩個零點；
（3）設函數的兩個零點分別為和，且，此時函數圖象與x軸的交點分別為A、B(點A在點B左側)，點M在直線上，當MA+MB最小時，求直線AM的函數解析式。

Answer 1

（1）和（2）證明見解析（3）

（1）當=0時，該函數的零點為和。 ……………………………2分
（2）令y=0，得△=
∴無論取何值，方程總有兩個不相等的實數根。
即無論取何值，該函數總有兩個零點。              ………………………………6分
（3）依題意有，
由解得。
∴函數的解析式為。                   ………………………………8分
令y=0，解得
∴A()，B(4,0)
作點B關于直線的對稱點B’，連結AB’，
則AB’與直線的交點就是滿足條件的M點。  ………………………………10分
易求得直線與x軸、y軸的交點分別為C（10,0），D（0,10）。
連結CB’，
則∠BCD=45°
∴BC=CB’=6，∠B’CD=∠BCD=45°
∴∠BCB’=90°
即B’（）                                ………………………………12分
設直線AB’的解析式為，則
，解得
∴直線AB’的解析式為，
即AM的解析式為。                    ………………………………14分
（1）根據題中給出的函數的零點的定義，將m=0代入y=x²﹣2mx﹣2（m+3），然后令y=0即可解得函數的零點；
（2）令y=0，函數變為一元二次方程，要想證明方程有兩個解，只需證明△＞0即可；
（3）根據題中條件求出函數解析式進而求得A、B兩點坐標，個、作點B關于直線y=x﹣10的對稱點B′，連接AB′，求出點B′的坐標即可求得當MA+MB最小時，直線AM的函數解析式．