Question

求證(x＋1)(x＋2)(x＋3)(x＋4)＋1是一個完全平方式．

Answer 1

答案：
解析：

證明：原式＝(x2＋5x＋4)(x2＋5x＋6)＋1 　　＝(x2＋5x)2＋10(x2＋5x)＋25 　　＝(x2＋5x＋5)2， 　　∴原命題成立．

提示：

點悟：不要輕易地把前四個一次因式的乘積展開，注意到1＋4＝2＋3，若利用乘法結合律，把(x＋1)(x＋4)和(x＋2)(x＋3)分別展開就會出現(x2＋5x＋4)(x2＋5x＋6)＋1的形式，這就不難發現(x2＋5x)作為一個整體a同時存在于兩個因式中，即(a＋4)(a＋6)＋1＝a2＋10a＋25，易見為完全平方式． 　　點撥：在得到(x2＋5x＋4)(x2＋5x＋6)＋1后，可令 　　m＝[(x2＋5x＋4)＋(x2＋5x＋6)]＝x2＋5x＋5， 　　∴原式＝(x2＋5x＋5－1)(x2＋5x＋5＋1)＋1 　　＝(x2＋5x＋5)2－1＋1 　　＝(x2＋5x＋5)2． 　　這樣會更方便些．