Question

【題目】如圖，拋物線y=ax2+bx+c與x軸相交于點A（﹣3，0），B（1，0），與y軸相交于（0，﹣），頂點為P．

（1）求拋物線解析式；

（2）在拋物線是否存在點E，使△ABP的面積等于△ABE的面積？若存在，求出符合條件的點E的坐標；若不存在，請說明理由；

（3）坐標平面內是否存在點F，使得以A、B、P、F為頂點的四邊形為平行四邊形？直接寫出所有符合條件的點F的坐標，并求出平行四邊形的面積．

Answer 1

【答案】（1）y=x2+x﹣（2）存在，（﹣1﹣2，2）或（﹣1+2，2）（3）點F的坐標為（﹣1，2）、（3，﹣2）、（﹣5，﹣2），且平行四邊形的面積為 8

【解析】

（1）設拋物線解析式為y=ax2+bx+c，把（﹣3，0），（1，0），（0，）代入求出a、b、c的值即可；（2）根據拋物線解析式可知頂點P的坐標，由兩個三角形的底相同可得要使兩個三角形面積相等則高相等，根據P點坐標可知E點縱坐標，代入解析式求出x的值即可；（3）分別討論AB為邊、AB為對角線兩種情況求出F點坐標并求出面積即可；

（1）設拋物線解析式為y=ax2+bx+c，將（﹣3，0），（1，0），（0，）代入拋物線解析式得，

解得：a=，b=1，c=﹣

∴拋物線解析式：y=x2+x﹣

（2）存在．

∵y=x2+x﹣=（x+1）2﹣2

∴P點坐標為（﹣1，﹣2）

∵△ABP的面積等于△ABE的面積，

∴點E到AB的距離等于2，

設E（a，2），

∴a2+a﹣=2

解得a1=﹣1﹣2，a2=﹣1+2

∴符合條件的點E的坐標為（﹣1﹣2，2）或（﹣1+2，2）

（3）∵點A（﹣3，0），點B（1，0），

∴AB=4

若AB為邊，且以A、B、P、F為頂點的四邊形為平行四邊形

∴AB∥PF，AB=PF=4

∵點P坐標（﹣1，﹣2）

∴點F坐標為（3，﹣2），（﹣5，﹣2）

∴平行四邊形的面積=4×2=8

若AB為對角線，以A、B、P、F為頂點的四邊形為平行四邊形

∴AB與PF互相平分

設點F（x，y）且點A（﹣3，0），點B（1，0），點P（﹣1，﹣2）

∴ ，

∴x=﹣1，y=2

∴點F（﹣1，2）

∴平行四邊形的面積=×4×4=8

綜上所述：點F的坐標為（﹣1，2）、（3，﹣2）、（﹣5，﹣2），且平行四邊形的面積為8．