Question

已知△ABC的一條邊BC的長為5，另兩邊AB、AC的長是關于x的一元二次方程x²-（2k+3）x+k²+3k+2=0的兩個實數根，
（1）求證：無論k為何值時，方程總有兩個不相等的實數根；
（2）k為何值時，△ABC是以BC為斜邊的直角三角形；
（3）k為何值時，△ABC是等腰三角形，并求△ABC的周長．

Answer 1

分析：（1）若要證明方程總有兩個不相等的實數根，只需證明△＞0．
（2）若△ABC是以BC為斜邊的直角三角形，則根據勾股定理，AB²+AC²=25，再根據根與系數的關系求得k的值即可．
（3）此題要分兩種情況進行討論，若AB=BC=5時，把5代入方程即可求出k的值，若AB=AC時，則△=0，列出關于k的方程，解出k的值即可．

解答：解：（1）因為△=b²-4ac=[-（2k+3）]²-4×1×（k²+3k+2）=1＞0，
所以方程總有兩個不相等的實數根．

（2）根據根與系數的關系：AB+AC=2k+3，AB•AC=k²+3k+2，
則AB²+AC²=（AB+AC）²-2AB•AC=25，
即（2k+3）²-2（k²+3k+2）=25，
解得k=2或k=-5．
根據三角形的邊長必須是正數，因而兩根的和2k+3＞0且兩根的積3k+2＞0，解得k＞-

2

3

∴k=2．

（3）若AB=BC=5時，5是方程x²-（2k+3）x+k²+3k+2=0的實數根，把x=5代入原方程，得k=3或k=4．
由（1）知，無論k取何值，△＞0，所以AB≠AC，故k只能取3或4．
根據一元二次方程根與系數的關系可得：AB+AC=2k+3，當k=3時，AB+AC=9，則周長是9+5=14；
當k=4時，AB+AC=8+3=11．則周長是11+5=16．

點評：本題主要考查了一元二次方程根與系數的關系和根的判別式，一元二次方程根的情況與判別式△的關系是：（1）△＞0?方程有兩個不相等的實數根；（2）△=0?方程有兩個相等的實數根；（3）△＜0?方程沒有實數根．在解題的過程中注意不要忽視三角形的邊長是正數這一條件．