Question

【題目】已知：如圖，在平行四邊形中，對角線與相交于點，過點作的垂線交邊于點，與的延長線交于點，且．

求證：（1）四邊形是矩形；

（2）．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）見解析

【解析】

（1）由可得，又∠CAB=∠EAM，從而推出△ABC∽△AEM，繼而推出∠ABC=∠AEM=90°，從而可得出結論；

（2）先證明△EFB∽△EBM，從而推出，得出，又DE=BE，從而可得出結果．

證明：（1）∵，∴，

又∠CAB=∠EAM，

∴△ABC∽△AEM，

∴∠ABC=∠AEM=90°，

又四邊形ABCD為平行四邊形，

∴四邊形ABCD為矩形；

（2）∵四邊形ABCD為矩形，∴AE=BE=DE=CE，

∴∠EAB=∠EBA，又∠EAB+∠M=90°，∠EBA+∠EBF=90°

∴∠M=∠EBF，

又∠FEB=∠BEM，

∴△EFB∽△EBM，

∴，

∴，

∴．