Question

【題目】拋物線C：y＝x[a（x﹣1）+x+1]（a為任意實數）．

（1）無論a取何值，拋物線C恒過定點　 　，　 　．

（2）當a＝1時，設拋物線C在第一象限依次經過的整數點（橫、縱坐標均為整數的點）為A1，A2，……An，將拋物線C沿著直線y＝x（x≥0）平移，將平移后的拋物線記為C n，拋物線C n經過點An，C n的頂點坐標為Mn（n為正整數且n＝1，2，…，n，例如n＝1時，拋物線C1經過點A1，C1的頂點坐標為M1）．

①拋物線C2的解析式為　 　，頂點坐標為　 　．

②拋物線C1上是否存在點P，使得PM1∥A2M2？若存在，求出點P的坐標，并判斷四邊形PM1M2A2的形狀；若不存在，請說明理由．

③直接寫出Mn﹣1，Mn兩頂點間的距離：　 　．

Answer 1

【答案】（1）（0，0），（1，1）；（2）①y＝（x﹣3）2+3，（3，3）．②存在，P（0，2），③2．

【解析】

（1）分別取x＝0，x＝1求出對應的函數值即可解決問題；

（2）①由題意a＝1，可得拋物線的解析式為y＝x2，設平移后的頂點為（m，m），則平移后的拋物線為y＝（x﹣m）2+m，利用待定系數法求出m即可；

②求出A1，M1，A2，M2的坐標，利用圖象法解決問題即可；

③分別求出Mn，Mn﹣1的坐標，利用兩點間距離公式求解即可．

解：（1）對于y＝x[a（x﹣1）+x+1]，

當x＝0時，y＝0，

當x＝1時，y＝1，

∴拋物線C經過定點（0，0）和（1，1），

故答案為：（0，0），（1，1）；

（2）①由題意a＝1，可得拋物線的解析式為y＝x2，

設平移后的頂點為（m，m），

則平移后的拋物線為y＝（x﹣m）2+m，

∵拋物線C2經過A2（2，4），

∴4＝（2﹣m）2+m，

解得m＝3或0（舍棄），

∴拋物線C2的解析式為y＝（x﹣3）2+3，頂點M2（3，3）．

故答案為：y＝（x﹣3）2+3，（3，3）；

②存在．由題意A1（1，1），M1（1，1）．A2（2，4），M2（3，3），

觀察圖象可知當P（0，2）時，PA1∥A2M2，此時四邊形PM1M2A2是矩形；

③由題意An（n，n2），An﹣1[n﹣1，（n﹣1）2]，

設拋物線Cn的解析式為y＝（x﹣m）2+m，

∵Cn經過An，

∴n2＝（n﹣m）2+m，

解得m＝2n﹣1或0（舍棄），

∴Mn（2n﹣1，2n﹣1），

同法可得Mn﹣1（2n﹣3，2n﹣3），

∴MnMn﹣1＝＝2，

故答案為：2．