Question

（2012•河池）如圖，已知AB是⊙O的直徑，⊙O過BC的中點D，且DE⊥AC于點E．
（1）試判斷DE與⊙O的位置關系，并證明你的結論；
（2）若∠C=30°，CE=6，求⊙O的半徑．

Answer 1

分析：（1）連接OD，只要證明OD⊥DE即可．此題可運用三角形的中位線定理證OD∥AC，因為DE⊥AC，所以OD⊥DE．
（2）通過相似三角形的性質或三角函數的定義求出AB或圓的半徑的值即可．

解答：（1）證明：連接OD．
∵D是BC的中點，O是AB的中點，
∴OD∥AC，
∴∠CED=∠ODE．           
∵DE⊥AC，
∴∠CED=∠ODE=90°．      
∴OD⊥DE，OD是圓的半徑，
∴DE是⊙O的切線．        

（2）解：連接AD，
∵AB為直徑，
∴∠BDA=90°，
∵DE⊥AC，
∴∠CED=90°，
在Rt△CED中，cos∠C=

CE

CD

，cos30°=

6

CD

，
解得：CD=4

3

，
∵點D為BC的中點，
∴BD=CD=4

3

，
∴AC=AB，
∴∠B=∠C=30°，
在Rt△ABD中．cos∠B=

BD

AB

，cos30°=

4 3

AB

，
解得AB=8，
故⊙O的半徑為4．

點評：本題考查了切線的判定．要證某線是圓的切線，已知此線過圓上某點，連接圓心與這點（即為半徑），再證垂直即可．