Question

【題目】如圖1，點O為直線AB上一點，過O點作射線OC，使∠BOC=120°，將一直角三角板的直角頂點放在點O處，一邊OM在射線OB上，另一邊ON在直線AB的下方．

（1）如圖2，將圖1中的三角板繞點O逆時針旋轉，使邊OM在∠BOC的內部，且OM恰好平分∠BOC．此時∠AOM= 度；

（2）如圖3，繼續將圖2中的三角板繞點O按逆時針方向旋轉，使得ON在∠AOC的內部．試探究∠AOM與∠NOC之間滿足什么等量關系，并說明理由；

（3）將圖1中的三角板繞點O以每秒10°的速度沿逆時針方向旋轉一周，在旋轉的過程中，若直線ON恰好平分∠AOC，則此時三角板繞點O旋轉的時間是 ．

Answer 1

【答案】（1）120；（2）∠AOM﹣∠NOC=30°，理由參見解析；（3）6或24秒．

【解析】

試題分析：（1）由角平分線意義可得∠BOM=120°÷2=60°，根據平角的意義可算出∠AOM的度數；（2）如圖3，∠AOM轉化成∠MON-∠AON，∠NOC轉化成∠AOC-∠AON，則∠AOM﹣∠NOC=（∠MON-∠AON）-（∠AOC-∠AON），即等于∠MON-∠AON-∠AOC+∠AON=∠MON-∠AOC=90-60=30度，從而推出∠AOM與∠NOC之間的數量關系；（3）若直線ON恰好平分∠AOC，當逆時針旋轉60°時，ON平分∠AOC，或當逆時針旋轉240°時，ON平分∠AOC，分別除以10，即為所求的旋轉時間．

試題解析：（1）由題意可知：OM恰好平分∠BOC，∴∠BOM=120°÷2=60°，∴∠AOM=180°﹣60°=120°； （2）如圖3，∵∠BOC=120°，∴∠A0C=60°，∠AOM轉化成∠MON-∠AON，∠NOC轉化成∠AOC-∠AON，∵∠AON=90°﹣∠AOM=60°﹣∠NOC，∴∠AOM﹣∠NOC=30°；（3）設三角板繞點O旋轉的時間是x秒，∵∠BOC=120°，∴∠AOC=60°，當逆時針旋轉60°或逆時針旋轉240°時 ON平分∠AOC， 于是可列10x=60或10x=240，∴x=6或x=24，即此時三角板繞點O旋轉的時間是6秒或24秒．故答案為：6秒或24秒．