Question

【題目】已知：在平面直角坐標系中，拋物線與軸交于點，（點在點的右側），點為拋物線的頂點，點的縱坐標為-2．

（1）如圖1，求此拋物線的解析式；

（2）如圖2，點是第一象限拋物線上一點，連接，過點作軸交于點，設點的橫坐標為，的長為，求與的函數關系式（不要求寫出自變量的取值范圍）；

（3）如圖3，在（2）的條件下，點在上，且，點的橫坐標大于3，連接，，，且，過點作交于點，若，求點的坐標．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）

【解析】

（1）將拋物線解析式化為頂點式可得y=a（x-1）2-4a，則C點為（1，-4a），再由-4a=-2即可求a的值，進而確定函數解析式；

（2）由已知分別求出點P和點A的坐標，可得AP的直線解析式，求出D點坐標則可求CD；

（3）設CD與x軸的交點為H，連接BE，由三角形中位線的性質可求BE=2（t-3）=2t-6；過點F作FN⊥BE于點N，過點P作PM⊥BE交BE的延長線于點M，可證明Rt△PME≌Rt△ENF（HL），從而推導出∠EPF=∠EFP=45°；過點C作CK⊥CG交PA的延長線于點K，連接AC、BC，能夠進一步證明△ACK≌△BCG（SAS），得到∠KGB=90°；令AG=8m，則CG=BG=6m，過點G作GL⊥x軸于點L，在Rt△ABG中，AG=10m=4，求出m值，利用等積法可求G點的坐標，再將G點坐標代入，求出t，即可求出點P坐標.

解：（1），

頂點的坐標為，

點的縱坐標為，

，

，

；

（2）點的橫坐標為，

，

與軸的交點為，，

設的直線解析式為，

則有，

解得，

，

軸交于點，

，

，

；

（3）如圖：設與軸的交點為，連接，

垂直平分，，

，，

軸，

，

過點作于點，過點作交的延長線于點，

，

，

，

，

，

，

，

，

過點作交的延長線于點，連接、，

，

，

，

，，

，

，，

，

，

，，

，

令，則，

，，

，

，

過點作軸于點，

在中，，

，

，

，

，

，

，

，，

的解析式為，

，

，

，．