Question

已知拋物線y＝ax²＋bx＋c與直線y＝mx＋n相交于兩點，這兩點的坐標分別是（0,）和（m－b，m²－mb＋n），其中a，b，c，m，n為實數,且a，m不為0．

（1）求c的值；

（2）設拋物線y＝ax²＋bx＋c與x軸的兩個交點是（x₁，0）和（x₂，0），求x₁x₂的值；

（3）當－1≤x≤1時，設拋物線y＝ax²＋bx＋c上與x軸距離最大的點為P（x_o，y_o ），求這時｜y_o｜的最小值．

 

Answer 1

解:

(1)∵（0，）在y＝ax²＋bx＋c上，∴ ＝a×0²＋b×0＋c， ∴ c＝.(1分)

(2)又可得 n＝.

∵ 點（m－b，m²－mb＋n）在y＝ax²＋bx＋c上，

∴ m²－mb＝a（m－b）²＋b（m－b），

∴（a－1）（m－b）²＝0， （2分）

若（m－b）＝0，則（m－b， m²－mb＋n）與（0，）重合，與題意不合．

∴ a＝1．（3分，只要求出a＝1，即評3分）

∴拋物線y＝ax²＋bx＋c，就是y＝x²＋bx．

△＝b²－4ac＝b²－4×（）＞0，（沒寫出不扣分）

∴拋物線y＝ax²＋bx＋c與x軸的兩個交點的橫坐標就是關于x的二次方程0＝ax²＋bx＋c的兩個實數根，∴由根與系數的關系，得x₁x₂＝． （4分）

(3)拋物線y＝x²＋bx的對稱軸為x＝，最小值為． （沒寫出不扣分）

設拋物線y＝x²＋bx在x軸上方與x軸距離最大的點的縱坐標為H，在x軸下方與x軸距離最大的點的縱坐標為h．

①當<－1，即b＞2時，在x軸上方與x軸距離最大的點是（1，y_o），

∴｜H｜＝y_o＝＋b＞，   (5分)

在x軸下方與x軸距離最大的點是（－1，y_o），

∴｜h｜＝｜y_o｜＝｜－b｜＝b－＞， (6分) 

∴｜H｜＞｜h｜．∴這時｜y_o｜的最小值大于.    (7分)

② 當－1≤≤0，即0≤b≤2時，

在x軸上方與x軸距離最大的點是（1，y_o），

∴｜H｜＝y_o＝＋b≥，當b＝0時等號成立.

在x軸下方與x軸距離最大點的是 （，），

∴｜h｜＝｜｜＝≥，當b＝0時等號成立.

∴這時｜y_o｜的最小值等于.    (8分)

③ 當0＜≤1，即－2≤b＜0時,

在x軸上方與x軸距離最大的點是（－1，y_o），

∴｜H｜＝y_o＝｜1＋（－1）b｜＝｜－b｜＝－b＞

在x軸下方與x軸距離最大的點是 （，），

∴｜h｜＝｜y_o｜＝｜｜＝＞.

∴ 這 時 ｜y_o｜的 最 小 值 大 于 .  (9分)

④ 當1＜，即b＜－2時，

在x軸上方與x軸距離最大的點是（－1，y_o），∴｜H｜＝－b＞,

在x軸下方與x軸距離最大的點是(1，y_o)，∴｜h｜＝｜＋b｜＝－（b＋）＞，

∴｜H｜＞｜h｜,∴這時｜y_o｜的最小值大于.     (10分)

綜上所述，當b＝0，x₀＝0時，這時｜y_o｜取最小值，為｜y_o｜＝.       (11分)

解析:略