Question

【題目】如圖，在△ABC中，∠C=90°，∠CAD=∠BAD，DE⊥AB于E，點F在邊AC上，連接DF．
（1）求證：AC=AE；
（2）若AC=8，AB=10，求DE的長；
（3）若CF=BE，直接寫出線段AB，AF，EB的數量關系.

Answer 1

【答案】解：（1）∵∠C=90°，DE⊥AB，
∴∠C=∠AED=90°，
在△ACD和△AED中，
，
∴△ACD≌△AED（AAS），
∴AC=AE．
（2）∵∠C=90°，AC=8，AB=10，
∴BC=6，
∴△ABC的面積等于24，
由（1）得：△ACD≌△AED，
∴DC=DE，
∵S△ACB=S△ACD+S△ADB ，
∴S△ACB=ACCD+ABDE，
又∵AC=8，AB=10，
∴24=×8×CD+ABDE
∴DE=；
（3）∵AB=AE+EB，AC=AE，
∴AB=AC+EB，
∵AC=AF+CF，CF=BE
∴AB=AF+2EB．
故答案為：AB=AF+2EB．

【解析】（1）先過點D作DE⊥AB于E，由于DE⊥AB，那么∠AED=90°，則有∠ACB=∠AED，聯合∠CAD=∠BAD，AD=AD，利用AAS可證．
（2）由△ACD≌△AED，證得DC=DE，然后根據S△ACB=S△ACD+S△ADB即可求得DE．
（3）由AC=AE，CF=BE，根據AB=AE+EB，AC=AF+CF即可證得．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解角平分線的性質定理的相關知識，掌握定理1：在角的平分線上的點到這個角的兩邊的距離相等； 定理2：一個角的兩邊的距離相等的點，在這個角的平分線上．