Question

【題目】如圖，在矩形中，，，點、分別在、上，，現把一塊直徑為的量角器（圓心為）放置在圖形上，使其線與重合；若將量角器線上的端點固定在點上，再把量角器繞點順時針方向旋轉，此時量角器的半圓弧與相交于點，設點處量角器的讀數為．

用含的代數式表示的大小；

當等于多少時，線段與平行？

在量角器的旋轉過程中，過點作，交于點，交于點．設，的面積為，試求出關于的函數關系式，并寫出自變量的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；與函數關系式為．

【解析】

（1）連接O′P，則∠PO′F=n°，因為O′P=O′F，所以∠O′FP=∠a，由三角形內角和定理得出結論；

（2）連接M′P，因為M′F是半圓O′的直徑，所以M′P⊥PF，又因為FC⊥PF，所以FC∥M′P，若PC∥M′F，四邊形M′PCF是平行四邊形，故PC=M′F=2FC，∠α=∠CPF=30°，代入（1）中關系式即可；

（3）以點F為圓心，FE的長為半徑畫弧ED，由于GM′⊥M′F于點M′，則GH是弧ED的切線．同理GE、HD也都是弧ED的切線，GE=GM′，HM′=HD．設GE=x，則AG=2-x，再設DH=y，則HM′=y，AH=2-y；在Rt△AGH中，由勾股定理得y與x的關系式，再代入三角形的面積公式即可．

連接，則；

∵，

∴，

∴，即；

連接、．

∵是半圓的直徑，

∴；

又∵，

∴，

若，

∴四邊形是平行四邊形，

∴，

∴；

代入中關系式得：

，

即；

以點為圓心，的長為半徑畫弧；

∵于點，

∴是弧的切線，

同理、也都是弧的切線，

∴，；

設，則，

設，則，；

在中，，

得：

即：

∴

∴

即：與函數關系式為．