Question

12、如圖，直線AB、CD相交于點O，∠AOC=30°，半徑為1cm的⊙P的圓心P在射線OA上，且與點O的距離為4cm，如果⊙P以1cm/s的速度沿由A向B的方向移動，那么⊙P與直線CD相切時的時刻為（　　）

A、2秒

B、6秒

C、2秒或6秒

D、4秒或6秒

Answer 1

分析：⊙P與CD相切應有兩種情況，一種是在射線OA上，另一種在射線OB上，設對應的圓的圓心分別在M，N兩點．當P在M點時，根據切線的性質，在直角△OME中，根據30度的角所對的直角邊等于斜邊的一半，即可求得OM的長，進而求得PM的長，從而求得由P到M移動的時間；根據ON=OM，即可求得PN，也可以求得求得由P到M移動的時間．

解答：解：當⊙P在射線OA上，設⊙P于CD相切于點E，P移動到M時，連接ME．
∵⊙P與直線CD相切，
∴∠OEM=90°
∵在直角△OPM中，ME=1cm，∠POE=30°
∴OM=2ME=2cm．
則PM=OP-OM=4-2=2cm，
則⊙P移動2秒時與直線CD相切；
當⊙P在射線OB上，設P移動到點N，設⊙P于CD相切于點F．
則ON=OM=2cm．
∴PN=4+2=6cm．
則⊙P移動6秒時與直線CD相切．
∴⊙P與直線CD相切時的時刻為2秒或6秒．
故選C．

點評：本題主要考查了切線的性質和直角三角形的性質，注意已知圓的切線時，常用的輔助線是連接圓心與切點，本題中注意到分兩種情況討論是解題的關鍵．