Question

【題目】如圖，△ABC中，AB=AC，以AB為直徑的⊙O與BC相交于點D，與CA的延長線相交于點E，過點D作DF⊥AC于點F．
（1）試說明DF是⊙O的切線；
（2）若AC=3AE，求 的值．

Answer 1

【答案】
（1）證明：連接OD，

∵OB=OD，

∴∠B=∠ODB，

∵AB=AC，

∴∠B=∠C，

∴∠ODB=∠C，

∴OD∥AC，

∵DF⊥AC，

∴OD⊥DF，

∴DF是⊙O的切線；

（2）解：連接BE，

∵AB是直徑，

∴∠AEB=90°，

∵AB=AC，AC=3AE，

∴AB=3AE，CE=4AE，

∴BE= =2 AE，

在RT△BEC中， = = ．

【解析】（1）連接OD，根據等邊對等角性質和平行線的判定和性質證得OD⊥DF，從而證得DF是⊙O的切線；（2）根據圓周角定理、勾股定理得出BE=2 AE，CE=4AE，然后在RT△BEC中可求 的值．
【考點精析】認真審題，首先需要了解等腰三角形的性質(等腰三角形的兩個底角相等（簡稱：等邊對等角）)，還要掌握圓周角定理(頂點在圓心上的角叫做圓心角;頂點在圓周上，且它的兩邊分別與圓有另一個交點的角叫做圓周角;一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半)的相關知識才是答題的關鍵．