Question

【題目】旋轉變換在平面幾何中有著廣泛的應用．特別是在解（證）有關等腰三角形、正三角形、正方形等問題時，更是經常用到的思維方法，請你用旋轉交換等知識，解決下面的問題．

如圖1，△ABC與△DCE均為等腰直角三角形，DC與AB交于點M，CE與AB交于點N．

（1）以點C為中心，將△ACM逆時針旋轉90°，畫出旋轉后的△A′CM′

（2）在（1）的基礎上，證明AM2+BN2=MN2．

（3）如圖2，在四邊形ABCD中，∠BAD=45°，∠BCD=90°，AC平分∠BCD，若BC=4，CD=3，則對角線AC的長度為多少？（直接寫出結果即可，但在圖中保留解決問題的過程中所作輔助線、標記的有關計算數據等）

Answer 1

【答案】（1）畫圖見解析；（2）證明見解析；（3） 6

【解析】試題分析：(1)根據旋轉的性質畫出圖形即可；(2)連接M'N，利用旋轉的性質可得∠BCM'=∠ACM，CM=CM'，AM=BM'，∠CBM'=∠A=45°，和全等三角形的判再利用SAS證明△MCN≌△M'CN，根據全等三角形的性質可得MN=M'N，在RT△BM'N中，根據勾股定理得M'N2=BN2+BM'2，即可得MN2=AM2+BN2；

(3)將△ADC順時針旋轉90°到△AC'D'，連接C'C，類比（2）的方法得到DB=D'B，在RT△BCD'中，由勾股定理求得AC的 長即可．

試題解析：

解：（1）旋轉后的△A'CM'如圖1所示：

（2）連接M'N，

∵△ABC與△DCE為等腰直角三角形，∠ACB=90°，∠DCE=45°，

∴∠A=∠CBA=45°，∠ACM+∠BCN=45°，

∵△BCM'是由△ACM旋轉得到的，

∴∠BCM'=∠ACM，CM=CM'，AM=BM'，∠CBM'=∠A=45°，

∴∠M'CN=∠MCN=45°，∠NBM'=90°，

∵CN=CN，

在△MCN與△M'CN中，

，

∴△MCN≌△M'CN（SAS），

∴MN=M'N，

在RT△BM'N中，根據勾股定理得：M'N2=BN2+BM'2，

∴MN2=AM2+BN2；

（3）如圖2，將△ADC順時針旋轉90°到△AC'D'，連接C'C，

則△AC'C是等腰直角三角形，C'D=3，

∵∠C'=∠ACB=45°，

∴C'，D'，B，C均在同一直線上，

在△DAB與△D'AB中，

，

∴△DAB≌△D'AB（SAS），

∴DB=D'B，

在RT△BCD'中，

∵BC=4，CD=3，

∴DB=5，

∴CC'=12，

∴AC=6．