Question

【題目】如圖，拋物線 與x軸交于點A和點B，與y軸交于點C，點B坐標為（6，0），點C坐標為（0，6），點D是拋物線的頂點，過點D作x軸的垂線，垂足為E，連接BD．

（1）求拋物線的解析式及點D的坐標；

（2）點F是拋物線上的動點，當∠FBA=∠BDE時，求點F的坐標；

（3）若點M是拋物線上的動點，過點M作MN∥x軸與拋物線交于點N，點P在x軸上，點Q在坐標平面內，以線段MN為對角線作正方形MPNQ，請寫出點Q的坐標．

Answer 1

【答案】（1），D（2，8）；（2）（﹣1，）或（﹣3，﹣）；（3）（2，）或（2，）．

【解析】

試題分析：（1）由B、C的坐標，利用待定系數法可求得拋物線解析式，再求其頂點D即可；

（2）過F作FG⊥x軸于點G，可設出F點坐標，利用△FBG∽△BDE，由相似三角形的性質可得到關于F點坐標的方程，可求得F點的坐標；

（3）由于M、N兩點關于對稱軸對稱，可知點P為對稱軸與x軸的交點，點Q在對稱軸上，可設出Q點的坐標，則可表示出M的坐標，代入拋物線解析式可求得Q點的坐標．

試題解析：

（1）把B、C兩點坐標代入拋物線解析式可得：，解得：，∴拋物線解析式為 ，∵=，∴D（2，8）；

（2）如圖1，過F作FG⊥x軸于點G，設F（x，），則FG=||，∵∠FBA=∠BDE，∠FGB=∠BED=90°，∴△FBG∽△BDE，∴，∵B（6，0），D（2，8），∴E（2，0），BE=4，DE=8，OB=6，∴BG=6﹣x，∴，當點F在x軸上方時，有，解得x=﹣1或x=6（舍去），此時F點的坐標為（﹣1，）；

當點F在x軸下方時，有，解得x=﹣3或x=6（舍去），此時F點的坐標為（﹣3，﹣）；

綜上可知F點的坐標為（﹣1，）或（﹣3，﹣）；

（3）如圖2，設對稱軸MN、PQ交于點O′，∵點M、N關于拋物線對稱軸對稱，且四邊形MPNQ為正方形，∴點P為拋物線對稱軸與x軸的交點，點Q在拋物線的對稱軸上，設Q（2，2n），則M坐標為（2﹣n，n），∵點M在拋物線的圖象上，∴n=﹣（2﹣n）2+2（2﹣n）+6，解得n=或n=，∴滿足條件的點Q有兩個，其坐標分別為（2，）或（2，）．