Question

某工廠計劃為學校生產A，B兩種型號的學生桌椅500套，以解決1254名學生的學習問題，一套A型桌椅（一桌兩椅）需木料0.5m³，一套B型桌椅（一桌三椅）需木料0.7m³，工廠現有庫存木料302m³。
（1）有多少種生產方案？
（2）現要把生產的全部桌椅運往學校銷售，已知每套型桌椅售價150元，生產成本100元，運費2元；每套型桌椅售價200元，生產成本120元，運費4元，求總利潤（元）與生產型桌椅（套）之間的關系式，并確定總利潤最少的方案和最少的總利潤。（利潤售價－生產成本－運費）
（3）按（2）的方案計算，有沒有剩余木料？如果有，請直接寫出用剩余木料再生產以上兩種型號的桌椅，最多還可以為多少名學生提供桌椅；如果沒有，請說明理由。

Answer 1

（1）7種；（2）生產型桌椅246套、型桌椅254套時，總利潤有最小值31118元；
（3）有剩余木料，最多為5名學生提供桌椅.

試題分析：（1）設生產A型桌椅x套，則生產B型桌椅（500-x）套，由一套A型桌椅（一桌兩椅）需木料0.5m³，一套B型桌椅（一桌三椅）需木料0.7m³，表示出所需的木料數，根據所需的木料數小于等于302列出不等式，再由A型一桌兩椅，B型一桌三椅，計算出提供多少學生的桌椅，大于等于1254列出不等式，兩不等式聯立組成不等式組，求出不等式組的解集，得到x的范圍，再由x為正整數即可求得結果；
（2）由利潤=售價-生產成本-運費，分別表示出A型桌椅與B型桌椅每套的利潤，由生產A型桌椅x套，則生產B型桌椅（500-x）套分別求出A和B的利潤，相加表示出總利潤y與x的一次函數關系式，由一次函數的比例系數小于0，得到此一次函數為減函數，將x的最大值代入求出對應y的值，即為最少的利潤；
（3）由總利潤最少時x的值，得到A型桌椅的套數，進而求出B型桌椅的套數，根據一套A型桌椅和一套B型桌椅所需的木料數，計算出用的木料數，用總木料數-用的木料數得到剩余的木料數，剩余的木料數可生產一套A型桌椅與一套B型桌椅，最多給5名學生提供桌椅．
（1）設生產型桌椅套，則生產型桌椅套，由題意得

解得
∵x為整數，
∴x的值有7個，分別為：240，241，242，243，244，245，246，
所以有7種生產方案；
（2）根據題意得：y=（150-100-2）x+（200-120-4）（500-x）=-28x+38000， 
，隨的增大而減少
∴一次函數y=-28x+38000為減函數，即y隨x的增大而減小，
當時，有最小值．
當生產型桌椅246套、型桌椅254套時，總利潤有最小值31118（元）；
（3）當生產A型桌椅246套，B型桌椅254套時，用的木料為246×0.5+254×0.7=300.8m³，
可得剩余木料為302-300.8=1.2m³，
∵一套A型桌椅（一桌兩椅）需木料0.5m³，一套B型桌椅（一桌三椅）需木料0.7m³，
則生產A型桌椅1套，B型桌椅1套時，最多為5名學生提供桌椅.
點評：此類問題難度較大，在中考中比較常見，一般在壓軸題中出現，需特別注意.