Question

【題目】如圖，四邊形ABCD為矩形，AB＝4cm，AD＝3cm，動點M、N分別從D、B同時出發，都以1cm/秒的速度運動，點M沿DA向點終點A運動，點N沿BC向終點C運動．過點N作NP⊥BC，交AC于點P，連接MP，已知運動的時間為t秒（0＜t＜3）．

（1）當t＝1秒時，求出PN的長；

（2）若四邊形CDMP的面積為s，試求s與t的函數關系式；

（3）在運動過程中，是否存在某一時刻t使四邊形CDMP的面積與四邊形ABCD的面積比為3：8，若存在，請求出t的值；若不存在，請說明理由．

（4）在點M、N運動過程中，△MPA能否成為一個等腰三角形？若能，試求出所有t的可能值；若不能，試說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）存在，；（4）能，當t＝1或t＝ 或t＝時，△MPA是等腰三角形.

【解析】

(1)由t＝1知BN＝1、CN＝BC﹣BN＝2，證△PNC∽△ABC得，據此可得答案；

(2)延長NP交AD于點Q，則PQ⊥AD，由△PNC∽△ABC得，據此得出PN＝4﹣t、PQ＝t，根據S四邊形CDMP＝S△ACD﹣S△AMP可得；

(3)求出矩形ABCD的面積，然后由題意可得關于t的方程，解方程即可求得答案；

(4)本題要分三種情況：①MP＝PA，那么AQ＝BN＝AM，可用x分別表示出BN和AM的長，然后根據上述等量關系可求得x的值．②MA＝MP，在直角三角形MQP中，MQ＝MA﹣BN，PQ＝AB﹣PN根據勾股定理即可求出x的值．③MA＝PA，不難得出AP＝BN，然后用x表示出AM的長，即可求出x的值．

(1)當t＝1時，BN＝1、CN＝BC﹣BN＝2，

∵PN⊥BC，

∴∠PNC＝∠B＝90°，

∴PN∥AB，

∴△PNC∽△ABC，

∴，即，

∴PN＝；

(2)如圖，延長NP交AD于點Q，則PQ⊥AD，

由題意知，DM＝BN＝t，AM＝CN＝3﹣t，

∵PN∥AB，

∴△PNC∽△ABC，

∴，即，

解得：PN＝(3﹣t)＝4﹣t，

∵PQ⊥AD，

∴∠QAB＝∠B＝∠NQA＝90°，

∴四邊形ABNQ是矩形，

則AB＝QN＝4，

∴PQ＝QN﹣PN＝4﹣(4﹣t)＝t，

∴四邊形CDMP的面積s＝×3×4﹣×(3﹣t)×t＝t2﹣2t+6；

(3)∵S矩形ABCD＝3×4＝12，

∴，

解得：t＝，

所以t＝時四邊形CDMP的面積與四邊形ABCD的面積比為3：8；

(4)△MPA能成為等腰三角形，共有三種情況，以下分類說明：

①若PM＝PA，

∵PQ⊥MA，

∴四邊形ABNQ是矩形，

∴QA＝NB＝t，

∴MQ＝QA＝t，

又∵DM+MQ+QA＝AD

∴3t＝3，即t＝1

②若MP＝MA，則MQ＝3﹣2t，PQ＝t，MP＝MA＝3﹣t，

在Rt△PMQ中，由勾股定理得：MP2＝MQ2+PQ2

∴(3﹣t)2＝(3﹣2t)2+(t)2，

解得：t＝(t＝0不合題意，舍去)；

③若AP＝AM，

由題意可得：AP＝t，AM＝3﹣t

∴t＝3﹣t，

解得：t＝，

綜上所述，當t＝1或t＝或t＝時，△MPA是等腰三角形．