Question

7．如圖1，在△ABC中，∠B=60°，若AB=2BC，則有∠C=90°，利用以上結論解決問題：
如圖2，等邊△ABC的邊長為20cm，動點P從B出發，以每秒1cm的速度向終點A運動，動點Q從點A出發，以每秒2cm的速度向終點C運動，兩動點同時出發，當其中一點到達終點時，另一點也隨之停止運動．設動點P的運動時間為t秒．
（1）填空：∠A=60度；t的取值范圍是0≤t≤20；
（2）當t運動多少秒時，△APQ是等邊三角形；
（3）當t運動多少秒時，△APQ是直角三角形；

Answer 1

分析 （1）根據等邊三角形的性質解答；
（2）根據等邊三角形的性質列出方程，解方程即可；
（3）分AP=2AQ或AQ=2AP兩種情況，根據題意列出方程，解方程即可．

解答 解：（1）∵△ABC是等邊三角形，
∴∠A=60°，AB=20cm，
∵點P從B出發，以每秒1cm的速度向終點A運動，
∴0≤t≤20，
故答案為：60；0≤t≤20；
（2）當△APQ是等邊三角形時，AP=AQ，
∴20-t=t，
解得，t=10，
∴當t運動10秒時，△APQ是等邊三角形；
（3）由結論可知，當AP=2AQ或AQ=2AP時，△APQ是直角三角形，
①AP=2AQ時，20-t=2t，
解得，t=$\frac{20}{3}$，
②2AP=AQ時，2（20-t）=t，
解得，t=$\frac{40}{3}$，
∴當t運動$\frac{20}{3}$或$\frac{40}{3}$秒時，△APQ是直角三角形．

點評 本題考查的是等邊三角形的性質、直角三角形的判定，掌握等邊三角形的判定、直角三角形的判定定理、靈活運用分情況討論思想是解題的關鍵．