Question

【題目】如圖1，在矩形ABCD中，P為CD邊上一點（DP＜CP），∠APB＝90°．將△ADP沿AP翻折得到△AD′P，PD′的延長線交邊AB于點M，過點B作BN∥MP交DC于點N．

（1）求證：AD2＝DPPC；

（2）請判斷四邊形PMBN的形狀，并說明理由；

（3）如圖2，連接AC分別交PM、PB于點E、F．若AD＝3DP，探究EF與AE之間的的數量關系．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）四邊形PMBN是菱形；理由見解析；（3）.

【解析】

（1）過點P作PG⊥AB于點G，易知四邊形DPGA，四邊形PCBG是矩形，所以AD＝PG，DP＝AG，GB＝PC，易證△APG∽△PBG，所以PG2＝AGGB，即AD2＝DPPC；

（2）DP∥AB，所以∠DPA＝∠PAM，由題意可知：∠DPA＝∠APM，所以∠PAM＝∠APM，由于∠APB∠PAM＝∠APB∠APM，即∠ABP＝∠MPB，從而可知PM＝MB＝AM，又易證四邊形PMBN是平行四邊形，所以四邊形PMBN是菱形；

（3）由于AD＝3DP，可設設DP＝1，則AD＝3，由（1）可知：AG＝DP＝1，PG＝AD＝3，從而求出BG＝PC＝9，AB＝AG+BG＝10，由于CP∥AB，從而可證△PCF∽△BAF，△PCE∽△MAE，從而可得＝，＝，從而可求出EF＝AF﹣AE＝AC﹣AC＝AC，從而可得＝＝．

（1）證明：過點P作PG⊥AB于點G，如圖1所示：

則四邊形DPGA和四邊形PCBG是矩形，

∴AD＝PG，DP＝AG，BG＝PC，

∵∠APB＝90°，

∴∠APG+∠GPB＝∠GPB+∠PBG＝90°，

∴∠APG＝∠PBG，

∴△APG∽△PBG，

∴＝，

∴PG2＝AGBG，

即AD2＝DPPC；

（2）解：四邊形PMBN是菱形；理由如下：

∵四邊形ABCD是矩形，

∴AB∥CD，

∵BM∥PN，BN∥MP，

∴四邊形PMBN是平行四邊形，

∵DP∥AB，

∴∠DPA＝∠PAM，

由題意可知：∠DPA＝∠APM，

∴∠PAM＝∠APM，

∵∠APB﹣∠PAM＝∠APB﹣∠APM，

即∠ABP＝∠MPB

∴AM＝PM，PM＝MB，

∴PM＝MB，

∴四邊形PMBN是菱形；

（3）解：∵AD＝3DP，

∴設DP＝1，則AD＝3，

由（1）可知：AG＝DP＝1，PG＝AD＝3，

∵PG2＝AGBG，

∴32＝1BG，

∴BG＝PC＝9，

AB＝AG+BG＝10，

∵CP∥AB，

∴△PCF∽△BAF，

∴＝＝，

∴＝，

∵PM＝MB，

∴∠MPB＝∠MBP，

∵∠APB＝90°，

∴∠MPB+∠APM＝∠MBP+∠MAP＝90°，

∴∠APM＝∠MAP，

∴PM＝MA＝MB，

∴AM＝AB＝5，

∵AB∥CD，

∴△PCE∽△MAE，

∴＝＝，

∴＝，

∴EF＝AF﹣AE＝AC﹣AC＝AC，

∴＝＝．