Question

【題目】（本小題滿分14分）

如圖，直線y＝kx＋b（k、b為常數）分別與x軸、y軸交于點A(－4，0)、B(0，3)，拋物線y＝－x2＋2x＋1與y軸交于點C．

（1）求直線y＝kx＋b的解析式；

（2）若點P(x，y)是拋物線y＝－x2＋2x＋1上的任意一點，設點P到直線AB的距離為d，求d關于x的函數解析式，并求d取最小值時點P的坐標；

（3）若點E在拋物線y＝－x2＋2x＋1的對稱軸上移動，點F在直線AB上移動，求CE＋EF的最小值．

Answer 1

【答案】(1) y＝x＋3；（2）P(，)；（3）．

【解析】

試題分析：（1）將A、B兩點坐標代入y＝kx＋b中，求出k、b的值；（2）作出點P到直線AB的距離后，由于∠AHC＝90°，考慮構造“K形”相似，得到△MAH、△OBA、△NHP三個三角形兩兩相似，三邊之比都是3∶4∶5．由“”可得，整理可得d關于x的二次函數，配方可求出d的最小值；（3）如果點C關于直線x＝1的對稱點C′，根據對稱性可知，CE＝C′E．當C′F⊥AB時，CE＋EF最小．

試題解析：

解：（1）∵y＝kx＋b經過A(－4，0)、B(0，3),

∴，解得k＝，b＝3．

∴y＝x＋3．

（2）過點P作PH⊥AB于點H，過點H作x軸的平行線MN，分別過點A、P作MN的垂線段，垂足分別為M、N．

設H(m，m＋3)，則M(－4，m＋3)，N(x，m＋3)，P(x，－x2＋2x＋1)．

∵PH⊥AB，∴∠CHN＋∠AHM＝90°，∵AM⊥MN，∴∠MAH＋∠AHM＝90°．

∴∠MAH＝∠CHN，∵∠AMH＝∠CNH＝90°，∴△AMH∽△HNP．

∵MA∥y軸，∴△MAH∽△OBA．∴△OBA∽△NHP．

∴．

∴．

整理得：，所以當x＝，即P(，)．

（3）作點C關于直線x＝1的對稱點C′，過點C′作C′F⊥AB于F．過點F作JK∥x軸，，分別過點A、C′作J⊥JK于點J，C′K⊥JK于點K．則C′(2，1)

設F(m，m＋3)

∵C′F⊥AB，∠AFJ＋∠C′FK＝90°，∵CK⊥JK，∴∠C′＋∠C′FK＝90°．

∴∠C′＝∠AFJ，∵∠J＝∠K＝90°，∴△AFJ∽△FC′K．

∴，∴，解得m＝或－4（不符合題意）．

∴F(，)，∵C′(2，1)，∴FC′＝．

∴CE＋EF的最小值＝C′E＝．