Question

【題目】如圖，已知⊙O的半徑為2，AB為直徑，CD為弦．AB與CD交于點M，將 沿CD翻折后，點A與圓心O重合，延長OA至P，使AP=OA，連接PC

（1）求CD的長；

（2）求證：PC是⊙O的切線；

（3）點G為 的中點，在PC延長線上有一動點Q，連接QG交AB于點E．交 于點F（F與B、C不重合）．問GEGF是否為定值？如果是，求出該定值；如果不是，請說明理由．

Answer 1

【答案】(1)2;(2)見解析;(3)見解析.

【解析】試題（1）連接OC，根據翻折的性質求出OM，CD⊥OA，再利用勾股定理列式求解即可；

（2）利用勾股定理列式求出PC，然后利用勾股定理逆定理求出∠PCO=90°，再根據圓的切線的定義證明即可；

（3）連接GA、AF、GB，根據等弧所對的圓周角相等可得∠BAG=∠AFG，然后根據兩組角對應相等兩三角相似求出△AGE和△FGA相似，根據相似三角形對應邊成比例可得，從而得到GEGF=，再根據等腰直角三角形的性質求解即可．

試題解析：（1）解：如圖，連接OC，∵沿CD翻折后，點A與圓心O重合，∴OM=OA=×2=1，CD⊥OA，∵OC=2，∴CD=2CM===；

（2）證明：∵PA=OA=2，AM=OM=1，CM=CD=，∠CMP=∠OMC=90°，∴PC===，∵OC=2，PO=2+2=4，∴==16=，∴∠PCO=90°，∴PC是⊙O的切線；

（3）解：GEGF是定值，證明如下：

如圖，連接GA、AF、GB，∵點G為的中點，∴，∴∠BAG=∠AFG，又∵∠AGE=∠FGA，∴△AGE∽△FGA，∴，∴GEGF=，∵AB為直徑，AB=4，∴∠BAG=∠ABG=45°，∴AG=，∴GEGF=8．